1.2导数的计算(2) 同步学案

高二数学 选修2—2 第一章 §1.2导数的计算(2)
班级 姓名
学习目标
复合函数的分解，求复合函数的导数；
掌握求函数的切线方程的两种类型。
学习过程
一、课前准备
1、默写基本初等函数的导数公式：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) 且；(8) .
2、默写两个函数的和(或差)积商的导数
； ； .二、新课导学
※ 学习探究
新知：复合函数的求导法则
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作：
复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：，其中u为中间变量.即： 对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
试试：=
※ 典型例题
例1、求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）（其中，均为常数）.
变式1：求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）； （4）.
例2、已知曲线.
(1)求曲线在点P(2,4)处切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
变式2：求函数过原点的切线方程。
三、总结提升
※ 学习小结
1. 会分解复合函数.
2. 会求复合函数的导数. ；其中u为中间变量.
即：对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
3. 求函数的切线方程要区分“过某一点”和“在某点处”的区别。
课后作业
一、基础训练题
1．下列函数不是复合函数的是(　　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos(x＋) C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
2．函数y＝(2＋x3)2的导数为(　　)
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3 C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x
3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
4．函数y＝sin2x－cos2x的导数是(　　)
A．2cos B．cos2x－sin2x C．sin2x＋cos2x D．2cos
5．物体运动的图象(时间x，位移y)如图所示，则其导函数图象为(　　)
6．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　)
A．0 B．－1 C．－60 D．60
7．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)
A．3 B．2 C．1 D.
8．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.
9．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________．
10．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；　(2)y＝；　(3)y＝cos2(x2－x)；(4)y＝cosx·sin3x；　(5)y＝log2.
11．过原点作曲线y＝ex的切线l，求切点坐标及切线l的方程．
二、提高训练题
12．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)
A. B. C. D.
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
选修2—2 第一章 §1.2导数的计算(2)参考答案
1、[答案]　A
2、[答案]　A
[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6， ∴y′＝6x5＋12x2.
3、[答案]　B　
4、[答案]　A
[解析]　y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.
5、[答案]　D
[解析]　由图象可知，物体在OA，AB，BC三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA，直线AB的斜率为正且kOA>kAB，直线BC的斜率为负，故选D.
6、[答案]　D
[解析]　∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.
7、[答案]　A
[解析]　由f′(x)＝－＝得x＝3.
8、[答案]　1
[解析]　∵f′(x)＝(a·ex＋blnx)′＝aex＋，
∴f′(1)＝ae＋b＝e，f′(－1)＝－b＝，
∴a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
9、[答案]　f(x)＝－x－ex＋1
[解析]　由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，
∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，
∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－，b＝－e，
故f(x)＝－x－ex＋1.
10、[解析]　(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝＝ .
(3)y′＝[cos2(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．
y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(5)y′＝′log2e＝log2e＝.
11、[解析]　设切点为(x0，ex0)，又y′＝(ex)′＝ex，
∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝ex0，
∴切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
又切线过原点，
∴－ex0＝－x0·ex0，即(x0－1)·ex0＝0，
∴x0＝1，
∴切点为(1，e)，斜率为e，
∴切线方程为y＝ex.
12、[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，
故选A.
13、(1)解　由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.