1.3.1函数的单调性与导数 同步学案

高二数学 选修2—2 第一章 §1.3.1函数的单调性与导数
班级 姓名
学习目标
正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习过程
一、课前准备
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝ ，那么函数f(x)就是区间I上的 函数.
复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：
y=f(x)=x2－4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2，+∞)
(－∞，2)
在区间（2，）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即时，函数在区间（2，）内为 函数；
在区间（，2）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即0时，函数在区间（，2）内为 函数.
新知：一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的减函数.
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）.

反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：
①求函数f(x)的导数.
②令解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令解不等式，得x的范围就是递减区间.
探究任务二：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？
※ 典型例题
例1、已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，.试画出函数图象的大致形状.
变式：函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.
例2、如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.
三、总结提升
※ 学习小结
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的定义域；
②求函数f(x)的导数.
③令，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内的符号，由此确定的单调区间
注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝x3的递减区间是(　　)
A．(－∞，＋∞)　　　B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．不存在
2．函数f(x)＝x－ex的单调增区间是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1)
3．三次函数y＝f(x)＝ax3＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则(　　)
A．a>0 B．a<0 C．a<1 D．a<
4．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＝0 D．不能确定
5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
6．下列命题成立的是(　　)
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
7．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)

8．函数y＝(x＋1)(x2－1)的单调减区间为________．
9．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
10．求函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调区间．
11．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值； (2)讨论函数f(x)的单调性．
二、提高训练题
12．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d (a＞0)，则f(x)为增函数的充要条件是(　　)
A．b2－4ac≥0 B．b2－4ac≤0 C．b2－3ac≤0 D．b2－3ac≥0
13．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
14．已知x＞0，求证：x＞sinx.
选修2—2 第一章 §1.3.1函数的单调性与导数参考答案
1、[答案]　D
[解析]　∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立，
∴函数y＝x3在R上是增函数．
2、[答案]　C
[解析]　f′(x)＝1－ex，令f′(x)>0，即1－ex>0.得x<0.故选C.
3、[答案]　A
[解析]　由题意可知f′(x)≥0恒成立，即3ax2＋1≥0恒成立，显然B，C，D都不能使3ax2＋1≥0恒成立，故选A.
4、[答案]　A
[解析]　∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
∵f(a)≥0，∴f(x)>f(a)≥0.故选A.
5、[答案]　D
[解析]　考查导数的简单应用．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
6、[答案]　B
[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
7、[答案]　A
8、[答案]　
[解析]　∵y＝x3＋x2－x－1
∴y′＝3x2＋2x－1
令y′＝0，得x＝－1或x＝
易知函数在上y′<0，函数为减函数．
9、[答案]　－　－6
[解析]　f′(x)＝3x2＋2bx＋c
∵f(x)的单调区间是[－1,2]，
∴－1,2是f′(x)＝0的两根．
∴－1＋2＝－，－1×2＝
即b＝－，c＝－6.
10、[解析]　∵f′(x)＝x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)，
令f′(x)>0得，x>2或x<－3.
∴函数f(x)在(2，＋∞)和(－∞，－3)上是增函数，
令f′(x)<0，得－3∴函数f(x)在(－3,2)上是减函数，
∴函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－3,2)．
11、[解析]　(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
12、[答案]　C
[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0，
∴b2－3ac≤0.故选C.
13、[答案]　[3，＋∞)
[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
14、[证明]　设f(x)＝x－sinx (x＞0)，
f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数．
又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立．
即：x＞sinx (x＞0)．