1.3.2函数的极值与导数 同步学案

高二数学 选修2—2 第一章 §1.3.2函数的极值与导数
班级 姓名
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
学习过程
一、课前准备
复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数. ②令 解不等式，得x的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x的范围，就是递减区间 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：
问题1：如下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？

看出，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ， ；且在点附近的左侧 0，右侧 0. 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0.
新知：
我们把点a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .
试试：
（1）函数的极值 （填：“是”或“不是”）唯一的.
(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.
反思：极值点与导数为0的点的关系：
导数为0的点是否一定是极值点.
比如：函数在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.
即：导数为0是点为极值点的 条件.
若函数可导，则导数为0是点为极值点的 条件.
※ 典型例题
例1、求函数的极值.
变式1：已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求 (1) 的值(2)a，b，c的值.


变式2：已知函数.
（1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.
练习： 下图是导函数的图象，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
小结：求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)=0的根
（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；
2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.
※ 知识拓展
函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”
课后作业
一、基础训练题
1．下列函数存在极值的是(　　)．
A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3
2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)．
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)
A．2　　　　　　 B．3 C．4 D．5
5．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)
A．2 B．2，－1 C．－1 D．－3
6．函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋7(　　)．
A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47
B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47
C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47
D．以上都不对
7．已知函数y＝，当x＝________时取得极大值________；当x＝________时取得极小值________．
8．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
9．求函数f(x)＝x＋的极值．
10．求f(x)＝－2的极值．
11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，
(1)求a，b的值； (2)求函数y的极小值．
二、提高训练题
12．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
13．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________．
14．已知a<2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)的极大值是6·e－2，求a的值．
选修2—2 第一章 §1.3.2函数的极值与导数参考答案
1、解析　A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值，D也无极值．故选B.
答案　B
2、解析　f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝－1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)＝3，极小值为f(－1)＝1－3＋1＝－1，故选D.
答案　D
3、解析：函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图
所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．
答案　A
4、解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，
∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.
答案　D
5、解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：
∴x＝－1时取极小值．
答案　C
6、解析　f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
极小值
?
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.
答案　A
7、解析　y′＝()′＝＝.y′＞0?x＞2，或x＜0，y′＜0?0＜x＜2，且x≠1，∴y＝在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值4.
答案　0　0　2　4
8、解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
9、解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
?
极大值－2
极小值2
因此，当x＝－1时，y有极大值，且y极大值＝f(－1)＝－2，
当x＝1时，y有极小值，且y极小值＝f(1)＝2.
10、解：函数的定义域为R.
f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)变化状态如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值－3
极大值
－1
所以当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
11、解　(1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又y＝a＋b＝3，即解得经检验，x＝1是极大值点，符合题意，故a，b的值分别为－6，9.
(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，
令y′＝0，得x＝0或x＝1.
∴当x＝0时，函数y取得极小值0.
12、解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
13、解析　设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，又f(x)的图象与x轴有3个交点，故∴－2答案　(－2，2)
14、解　(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex.
令f′(x)≥0，由ex>0得x2＋3x＋2≥0，
解得x≤－2或x≥－1，
∴f(x)的增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞)．
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex.
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝－a，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况列表如下：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴x＝－2时，f(x)取得极大值．
而f(－2)＝(4－a)·e－2，∴(4－a)e－2＝6·e－2，∴a＝－2.