1.3.3函数的最大(小)值与导数 同步学案

高二数学 选修2—2第一章 §1.3.3函数的最大(小)值与导数
班级 姓名
学习目标
1．理解函数的最大值和最小值的概念；
2．掌握用导数求函数最值的方法和步骤．
学习过程
一、课前准备
复习：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 点，是极 值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的 点，是极 值
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：函数的最大（小）值
问题：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
在图1中，在闭区间上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .
新知：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.
试试：
上图的极大值点 ，为极小值点为 ；
最大值为 ，最小值为 .
反思：
1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2.函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的 条件
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
※ 典型例题
例1、求函数在[0,3]上的最大值与最小值.
例2、已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是1；
若存在，求出，若不存在，说明理由.
变式：设，函数在区间上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.
三、总结提升
※ 学习小结
设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
3．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)．
A．0≤a<1 B．05．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)
A．－10 B．－71 C．－15 D．－22
6．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
7．函数f(x)＝，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________．
8．函数y＝xex的最小值为________．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：
(1)实数a的值； (2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．
10．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1，4]上的最大值与最小值．
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，
y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．
二、提高训练题
12．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e C．e2 D.
13．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B. C．－ D.或－
14．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
15．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
选修2—2 第一章 §1.3.3函数的最大(小)值与导数参考答案
1、解析：由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
答案　D
2、解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
答案　D
3、解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.
答案　C
4、解析　∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0，1)，∴0答案　B
5、解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3，－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案　B
6、解析：因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.
答案　C
7、解析　∵y′＝＝，令y′＝0可得x＝1或－1.
又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，∴最大值为2，最小值为－2.
答案　2　－2
8、解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1. 当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.
∴ymin＝f(－1)＝－.
答案：－
9、解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0. ∵f′(x)＝3x2＋2ax，∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.
(2)由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－2
?
2
?
－2
?
2
从上表可知f(x)在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.
10、解　f′(x)＝5x4＋20x3＋15x2＝5x2(x＋3)(x＋1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－1或x＝－3(舍)，
列表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，4)
4
f′(x)
0
＋
0
＋
f(x)
0
?
1
2 625
又f(0)＝1，f(－1)＝0，右端点处f(4)＝2 625，
∴函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1，4]上的最大值为2 625，最小值为0.
11、解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0. ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0. 可得4a＋3b＋4＝0. ②
由①②解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，代入3x－y＋1＝0得切点坐标(1，4)，∴f(1)＝4.
∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝.
当x∈[－3，－2)，时f′(x)>0，函数是增函数；
当x∈时f′(x)<0，函数是减函数，
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13.在x＝处取得极小值f＝.
又f(－3)＝8，f(1)＝4.∴y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为.
12、解析：令y′＝＝＝0.解得x＝e.
当x>e时，y′<0； 当x0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值， 所以y max＝.
答案　A
13、解析：当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1答案　C
14、解析　y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
答案　＋
15、解析：f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，x1＝0，x2＝，x3＝－，
又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，
f()＝b－4a，f(0)＝b，f(－)＝b－4a.
∴∴a＝2.
答案：2　3