1.4生活中的优化问题举例 同步学案

高二数学 选修2—2第一章 §1.4生活中的优化问题举例
班级 姓名
学习目标
1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；
2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.
学习过程
※ 学习探究
优化问题:生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题.
探究任务：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
※ 典型例题
例1、海报版面尺寸的设计
班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为，上、下两边各空，左、右两边各空.如何设计海报的尺寸，才能使四周
空白面积最小？

变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ，为使所用材料最省，底宽应为多少？

例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
例3、磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
(1)是不是越小，磁盘的存储量越大？
(2)为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
例4、已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润最大？
三、总结提升
※ 学习小结
1．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.
2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.
课后作业
一、基础训练题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8　　　　　　　　　B. C．－1 D．－8
2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产(　　)
A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台
3．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末
4．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)．
A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2
6．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．
7．做一个容积为256 dm3的正方形底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．
8．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
9．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
二、提高训练题
10．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)．
A.π B.π C.π D.π
11．如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．
12．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．
选修2—2 第一章 §1.4生活中的优化问题举例参考答案
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案　C
2、解析 设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，
经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.
答案　A
3、解析 ∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.
答案　D
4、解析 因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，
所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，
所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，
所以函数在x＝9处取得最大值．
答案　C
5、解析　设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.
答案　D
6、答案　32m,16m
解析　设长，宽分别为a，b，则ab＝512，且l＝a＋2b，∴l＝2b＋，∴l′＝2－，
令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32.
即当长、宽分别为32m、16m时最省材料．
答案 4
解析 设底面边长为x，则高为h＝，
其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，
则高h＝＝4 (dm)．
8、解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)
f′(x)＝48－. 令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0； 当10≤x<15时，f′(x)<0.
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．
故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
解 设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝4.5－3x(0＜x＜)．
故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0＜x＜)，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m．
即当长方体的长为2 m、宽为1 m、高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
10、解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3. 则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0， ∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为π.
答案　A
11、答案　
解析　设四边形较短边为x，则较长边为x，正六棱柱底面边长为1－2x，高为x，
∴V＝6××sin60°×(1－2x)2×x＝x(1－2x)2. V′＝(1－2x)(1－6x)，
令V′＝0，得x＝或x＝(舍去)． 当00；当因此当x＝时，V有最大值，此时底面边长为1－2×＝.
解　设矩形边长AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为S＝2x(4－x2)(0 即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；当x>时，S′<0，
所以当x＝时，S取得最大值，此时，S最大值＝.
即矩形的边长分别为，时，矩形的面积最大．