1.5定积分的概念(1) 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第一章§1.5定积分的概念（一）
班级 姓名
学习目标
1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；
2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；
3．明确定积分的几何意义和物理意义.
学习过程
一、课前准备
复习1：函数的导数是
复习2：（1）用“”表示为____________________．
（2）计算： ________；公式： ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：曲边梯形的面积
问题1：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把直线，，和曲线所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？

特例：问题:求由与直线围成的曲边梯形的面积．
解：在区间等间隔地插入个点，将它等分，第个小区间为________，区间长度__ _．

．
新知：求曲边梯形面积的步骤——四步曲
第一步　分割→第二步　近似代替→第三步　求和→第四步　取极限（逼近的思想）
探究任务二：用“四步曲”方法求变速运动在某段时间内的路程
问题2：如果汽车在行进过程中作变速直线运动，在时刻的速度（单位：km/h），那么它在这段时间内行驶的路程是多少？
（1）分割：把时间区间等间隔地插入个分点，将它等分，记第个小区间为____________，此时区间长度___________．
（2）近似代替：在每个小区间内，变速直线运动可以近似地看作_______________，此时第个小区间内的速度可近似地用_____________代替，_______________．
（3）求和：计算__________．
（4）求极限：计算______________．
问题3：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车近似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程的近似值，用这种方法能求出的值吗？若能求出，这个值也是吗？
曲边梯形与汽车行驶路程的关系
问题4：结合求曲边梯形面积过程，你认为汽车行驶的路程与直线和所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
※ 典型例题
例、一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻的速度为（单位：km/h），试计算这辆汽车在（单位：h）这段时间内汽车行驶的路程（单位：km）．
变式、已知某物体作直线运动，速度函数为，求物体在时间区间内的运动距离．
※ 巩固练习
1．做直线运动的物体的运动速度，该物体在到这段时间内所走的路程为（　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．2
2．一辆汽车以速度行驶，这辆汽车从到这段时间内所行驶的路程为（　　）
A．　　　B．1　　　C．3　　　D．27
3．以速度沿直线运动的物体在到这段时间内所走过的路程为____________．
三、总结提升
求曲边梯形面积的步骤——四步曲
第一步　分割→第二步　近似代替→第三步　求和→第四步　取极限（逼近的思想）
课后作业
一、基础训练题
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为(　　)
A.　　　 B.　　 　C.　　　 D.
2．和式可表示为(　　)
A．(y1＋1)＋(y5＋1) B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5 D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
3．在求由函数y＝与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为(　　)
A．[，] B．[，] C．[i－1，i] D．[，]
4．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)和区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)和区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关
D．与f(x)和区间[a，b]和分点的个数n和ξi的取法都有关
5．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S； ②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S； ④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个　　　 B．2个　 C．3个　　　 D．4个
6．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为(　　)
A. B. C. D.
7．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是(　　)
A. B. C. D.
8．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是(　　)
A. [·] B. [·] C. [·] D. [·n]
9. 3i的值为________．
10．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成曲边梯形，将区间[0,2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________.
11．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
12．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．
二、提高训练题
13．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(　　)
A．80米 B．60米 C．40米 D．30米
14．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
选修2-2 第一章§1.5定积分的概念（一）参考答案
1、[答案]　B
[解析]　区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.
2、[答案]　C
[解析]　(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.
3、[答案]　B
[解析]　把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，故选B.
4、[答案]　D
[解析]　Sn即为实际的S近似代替后的和式，其与f(x)、区间[a，b]、分点个数、ξi的取法均有关．
5、[答案]　A
[解析]　n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.
6、[答案]　D
[解析]　在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为，故第i－1个区间为，故选D.
7、[答案]　D
[解析]　s＝×＝＝.
8、[答案]　B
[解析]　将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝，第i个小区间为[，](i＝1,2,3，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为[·]．
9、[答案]　165
[解析]　3i＝3×(1＋2＋3＋…＋10)＝165.
10、[答案]　3.92　5.52
[解析]　分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
11、[答案]　6.5
[解析]　由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝×(5＋8)×1＝6.5.
[解析]　f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，
在[xi－1，xi]＝[1＋，1＋]上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，
于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
从而Sn＝f(ξi)Δxi＝ (2＋)·＝ (＋)＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋＝－.　　
则S＝Sn＝ (－)＝.
如下进行验证：
如图所示：梯形的面积公式
S＝×(2＋3)×1＝.
13、[答案]　D
[解析]　由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.
令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．
将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．21教育网
14、[解析]　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
∴Δsi＝f·.
sn＝·＝＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝ ＝.
∴这段时间行驶的路程为km.