1.5定积分的概念(2) 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第一章§1.5定积分的概念（二）
班级 姓名
学习目标
1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
2、能用定积分的定义求简单的定积分；
3、了解定积分的几何意义；
学习过程
一、课前准备
复习回顾
1、用“四步曲”方法求曲边梯形的面积；
2、用“四步曲”方法求变速运动在某段时间内的路程。
→ → →
二、新课导学
（一）、定积分的概念
问题1：函数在区间上连续,如同曲边梯形面积的“四步曲”求法写出其运算过程.
问题2：当时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记做),其中与分别叫做 与 ，区间叫做 ，函数叫做 ，叫做 ，叫做 。
（二）、定积分的几何意义
问题3：定积分的几何意义是：______________________________
。
▲说明 (1) 定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即
(2)定义中区间的分法和(i的取法是任意的.
(3)
※ 典型例题
例1、利用定积分的定义，计算的值. ()
例2、 用定积分表示下列阴影部分面积。

（1） （2）
变式：利用定积分的几何意义说明的大小.
例3、根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗？

（1） （2）
（三）、定积分的运算性质
问题4：定积分的运算性质有以下3条，分别为：
性质1：
性质2：
性质3：
三、总结提升
1、定积分的概念；
2、根据定积分的定义求简单的定积分；
3、定积分的几何意义．
课后作业
一、基础训练题
1．定积分?xdx的值是(　　)
A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．0
2．定积分?f(x)dx的大小(　　)
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
3．若f(x)是[－a，a]上的连续偶函数，则f(x)dx＝(　　)
A. f(x)dx B．0
C．2f(x)dx D.2f(x)dx
4．设f(x)＝，则?f(x)dx可化为(　　)
A．?x2dx B．?2xdx
C．?x2dx＋?2xdx D．?2xdx＋?x2dx
设变速直线运动物体的速度为v(t)，则在t1到t2这一时间段内，该物体经过的位移s＝________.
6．如图，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分?f(x)dx＝________.
7．dx＝________.
8．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
　　　 (1)　　　 　 　　　(2)　　 　　　(3)

9．利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)?dx；(2)?cos xdx.
二、提高训练题
10．?dx＝____________.
11．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
选修2-2 第一章§1.5定积分的概念（二）参考答案
1、【答案】B　
【解析】即计算由直线y＝x，x＝1及x轴所围成的三角形的面积．
2、【答案】A
3、【答案】 C
【解析】 偶函数的图象关于y轴对称，
故f(x)dx＝，
4、【答案】 D　
【解析】 ?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx＝?2xdx＋?x2dx.故选D.
5．【答案】v(t)dt
6、【答案】 A1＋A3－A2
【解析】 利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．
7、【答案】 12
【解析】 如图A(0，－4)，B(6,8)
S△AOM＝×2×4＝4
S△MBC＝×4×8＝16
∴dx＝16－4＝12.
8、
9、【解】(1)由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的
部分．
∴?dx＝π·12＝π.
(2)由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，?cos xdx＝0.
10、【答案】＋
【解析】　由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
?dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2，
∴?dx＝2＋－＝＋.
11、【解】　由定积分的几何意义知x3dx＝0，
＝＝π2－4，
∫cos xdx＝0.
由定积分的性质得
＝x3dx＋2xdx＋＝π2－4.