1.6微积分基本定理 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第一章§1.6微积分基本定理
班级 姓名
学习目标
1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;
2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;
3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足的函数.
学习过程
一、课前准备
1.基本初等函数的求导公式：

=
2.连续函数在上的定积分定义：
3.定积分的运算性质：
（1） （为常数）（2）
（3）（其中
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：导数与定积分的联系
问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是.由导数的概念可知，它在任意时刻的速度.设这个物体在时间段内的位移为S，你能分别用表示S吗？
新知：微积分基本定理：一般的，如果函数那么， 。这就是微积分基本定理，也叫牛顿——莱布尼兹公式。
也记作： = 。
反思：计算定积分的关键是找到满足的函数. 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出 .
练习1、利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
例1、计算下列定积分：
（1）； （2）
练习2、计算下列定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）
（二）定积分的取值
例2、 计算下列定积分：，，.
由例2，回答下面的问题
定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________
（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取________，且等于____________
（2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取________，且等于____________
（3）当位于轴上方的曲边梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为__________ ，且等于位于轴_____________减去位于 x 轴__________________．
例3、求以下定积分：
（1）|x2－1|dx （2）?(＋)26xdx.
（3） （4）
三、总结提升
1、微积分基本定理； 2、定积分的取值；
3、常用的积分公式：


课后作业
一、基础训练题
1．∫(sinx－cosx)dx等于(　　)
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
2．?dx等于(　　)
A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
3．由曲线y＝x3，直线x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积为(　　)
A．1 B. C. D.
4．?|x＋3|dx的值为(　　)
A．－2 B．0 C．5 D.
5．若m＝?exdx，n＝?dx，则m与n的大小关系是(　　)
A．m>n B．m6．已知f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为(　　)
A.　　　 B.　　 C.　　　 D.
7．计算定积分 (x2＋sin x)dx＝________.
8．?(2xk＋1)dx＝2，则k＝________.
9．计算定积分：
①x2dx； ②dx； ③|x2－1|dx； ④|sinx|dx.
10．计算下列定积分：
(1)dx； (2) (cos x＋2x)dx；
二、提高训练题
11．f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是(　　)
A．4x＋3 B．3x＋4 C．－4x＋2 D．－3x＋4
12．定积分?dx的值为________．
13．计算：(1)?(sin5x＋x13)dx； (2) (cos2x＋8)dx.
选修2-2 第一章§1.6微积分基本定理参考答案
1、[答案]　B
[解析]　∫(sinx－cosx)dx＝∫sinxdx－∫cosxdx＝(－cosx)－(sinx)＝(－1)－(1)＝－2.
[答案] D　
[解析] ?dx＝lnx|＝ln4－ln 2＝ln 2.
[答案] D　
[解析] 曲边梯形面积A＝?x3dx＝|＝.
[答案]　C　
[解析]　原式＝?(－x－3)dx＋?(x＋3)dx＝|＋|＝5.]
[答案]　 A　
[解析]　 ∵m＝?exdx＝ex|＝e－1，n＝?dx＝ln x|＝ln e－ln 1＝1，
m－n＝e－1－1＝e－2>0，∴m>n.
6、[答案]　C
[解析]　f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln x＝＋2＝.
7、[答案]　
[解析]　∵(x3－cos x)′＝x2＋sin x，
∴ (x2＋sin x)dx＝(x3－cos x)＝.
8．[答案]　1
[解析]　∵?(2xk＋1)dx＝?2xkdx＋?dx＝2?xkdx＋x|＝|＋1＝＋1＝2，∴＝1，
即k＝1.
9、解　①x2dx＝x3＝.
②dx＝＝.
③|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝2.
10、解　(1)∵dx＝(－)dx＝[ln x－ln(x＋1)]＝ln .
(2) (cos x＋2x)dx＝(sin x＋)
[答案]　A　
[解析]　设f(x)＝ax＋b，则?(ax＋b)dx＝|＝＋b，
?xf(x)dx＝?(ax2＋bx)dx＝|＝＋，
∴，∴.
12、[答案]　ln 2
[解析]　∵′＝， ∴?dx＝ln(1＋x2)|＝ln 2.
13．解　(1)∵f(x)＝sin5x＋x13，x∈[－5,5]是奇函数，
∴由定积分的几何意义知
?(sin5x＋x13)dx＝－?(sin5x＋x13)dx，
∴?(sin5x＋x13)dx＝?(sin5x＋x13)dx＋?(sin5x＋x13)dx＝0.
(2)∵f(x)＝cos2x＋8，x∈是偶函数，
∴ (cos2x＋8)dx＝2 (cos2x＋8)dx＝2cos2xdx＋dx
＝ (1＋cos 2x)dx＋16x|＝|＋16x|＝π.