1.7定积分的简单应用 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第一章§1.7 定积分的简单应用
班级 姓名
学习目标
1.了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
3.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
学习过程
一、课前准备
复习1：定积分的几何意义是什么？利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？
复习2、微积分基本定理： = 。
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：定积分在几何中的应用
问题： 如何求曲边图形的面积?
反思：求定积分就是求曲边梯形的面积.
※ 典型例题
例1、计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
变式1. 计算由，，所围图形的面积.
例2、计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
变式2：求抛物线 y 2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积.
小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.
探究任务二：定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例3、一辆汽车的速度—时间函数关系为：
求汽车在这60秒行驶的路程.

变式3：一物体沿直线以（的单位：，的单位：)的速度运动，求该物体在3～5s间行进的路程.
(2)变力作功：一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
例4、在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 m处，求克服弹力所作的功.
(胡克定律：弹簧所受的力与拉伸（或缩短）的距离x按胡克定律F(x)=kx计算.)
变式4:如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
三、总结提升
1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等.
2. 在解决问题的过程中，能过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解.
课后作业
一、基础训练题
1．如图所示，阴影部分的面积为(　　)
f(x)dx　　　　　 B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
2．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为(　　)
A.f(x)dx B．|f(x)dx| C.|f(x)|dx D．以上都不对
方时，f(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.
3．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是(　　)
A．31m　　　 B．36m　　　 C．38m　　　 D．40m
4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)
A.　 　　 B.　　 　 C.　 　　 D.
5．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为(　　)
A．8J　 　 　 B．10J　　　 C．12J　　　 D．14J
6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为(　　)
A. B．3－ C．6＋3 D．6－3
7．由曲线y＝、直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________．
8．作变速直线运动的物体的速度v(t)＝4－t2，初始位置s(0)＝1，则3秒时所处的位置s(3)为________．
9．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时(在弹性限度内)，克服弹力所作的功为 ．
10．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
11．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离； (2)B、D间的距离； (3)电车从A站到B站所需的时间．
二、提高训练题
12．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
13．如图，由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是______．
14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．
15．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：
(1)切点A的坐标； (2)过切点A的切线方程．
选修2-2 第一章§1.7 定积分的简单应用参考答案
1、[答案]　C
[解析]　由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
2、[答案]　C
[解析]　当f(x)在[a，b]上满足f(x)<0时，f(x)dx<0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下3、[答案]　B
[解析]　S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
4、[答案]　A
[解析]　由得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
5、[答案]　D
[解析]　由变力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D.
6、[答案]　D
[解析]　dt＝＝6－3，故应选D.
7、[答案]　
[解析]　由y＝得其交点坐标为(4,2)．因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx＝(x－x2＋2x)＝×8－×16＋2×4＝.2·1·c·n·j·y
8、[答案]　4
[解析]　由题意可知s(3)＝v(t)dt＋1＝(4－t2)dt＋1＝(4t－)＋1＝4.
9、[答案]　0.36 J
[解析]　由题意可知1＝k×0.02，∴k＝50，故在弹簧伸长12 cm时所做的功为50ldl＝25l2＝0.36(J)．com
10、[解析]　由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝(－x2＋3x)dx＝＝.
11、[解析]　(1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，
所以AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设从D→B经过t2s，
由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，
所以DB＝(24－1.2t)dt＝240(m)．
(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝＝280(s)．
于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
12、[答案]　18
[解析]　如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，
从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
13、[答案]　
[解析]　如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
14、[答案]　9－8ln2＋
[解析]　∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；
又1≤t≤2时，v(t)＝at，
∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；
又2≤t≤e时，v(t)＝，
∴v(2)＝＝4，∴b＝8.
∴路程为S＝2tdt＋2tdt＋dt＝9－8ln2＋ .
15、[解析]　如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
令y＝0得x＝，即C.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
S＝S曲边△AOB－S△ABC.
S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x＝x，
即S＝x－x＝x＝.
所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.