选修2-1导数及其应用复习学案

选修2-2导数及其应用
班级 姓名
知识清单
1、平均变化率及其实际意义
=是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，）的割线斜率；物理意义为平均速度。
2、导数的定义
设函数在处附近有定义，如果时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即。
3、导数的定义
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
4、导数的实际意义
导数的几何意义：是曲线上点()处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点()处的切线方程为
特别注意：区分清“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；
前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
特别提醒：用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率。
导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。。
5、利用定义求函数的导数主要有三个步骤
(1)求函数的改变量； (2)求平均变化率；
(3)取极限，得导数＝
6、导数的运算
常见函数的导数公式:
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ 。
（二）导数的四则运算
1．和差： 2．积： 3．商：
注意：若c为常数，则(cu) ′=cu′。
（三）复合函数的导数：
复合函数的导数：．
7、导数的应用（一）—————利用导数判断函数单调性及求解单调区间
1.导数和函数单调性的关系：
(1)若(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
(2)若(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定的定义域；
②计算导数；
③求出的根；
④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间：(x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；(x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
8、导数的应用（二）—————利用导数求解函数极值与最值
1.极值与最值的定义：
(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
(3)函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
2.极值的性质：
(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
特别提醒：“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若 （或）恒成立，则函数无极值。
4.求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域，求导数 (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值
5.利用导数求函数的最值步骤:
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
典型例题分析
题型一、平均变化率的概念及意义
例1、已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( 　　)
A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx
例2、已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________.
题型二、导数的概念
例3、若f′(x0)＝2，则li＝__________.
题型三、导数的几何意义
例4、已知曲线C：y＝x3－2x2＋6x－3.
(1) 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； (2) (1)中的切线与曲线C是否还有其它公共点．
题型四、导数的计算
例5、求下列函数的导数
(1)y＝x2＋lgx+3x； (2)y＝tanx； (3)y＝lnx·ex；
(4)y＝2sin2x； (5)y＝； (6)y＝cos(－2x)．
题型五、利用导数求函数的单调性
例6、设，讨论函数的单调性．
题型六、利用导数求函数的极值和最值
例7、已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0
例8、设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为，求a的值．

题型七、导数的实际应用
例9、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
题型八、导数综合问题
例10、设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
例11、已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时，x2＋lnx<x3.
专题检测
1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1　　　　　　B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为(　　)
A．v＝2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost
C．v＝2sint D．v＝2sint＋2cost＋1
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是(　　)
A．m<2或m>4 B．－45．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为(　　)．
A．－135° B．45° C．－45° D．135°
6．下列求导运算正确的是(　　)．
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
7．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(　　)
A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π)
8．y＝sin2x＋cos2x的导数是(　　)
A．2cos2x＋2sin2x B．2cos2x－2sin2x C．2cos2x＋sin2x D．2sin2x－2cos2x
9．y＝x＋sinx在(0，π)上是(　　)
A．单调递减函数 B．单调递增函数
C.上是增函数，上是减函数 D.上是减函数，上是增函数
10．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为(　　)．
A．(－∞，－1)及(0，1) B．(－1，0)及(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
11．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为(　　)
A．25件 B．20件 C．15件 D．30件
12．函数f(x)＝(　　)．
A．在(0，2)上单调递减 B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0，2)上单调递增 D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
13．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)．
A．－1＜a＜2
B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2
D．a＜－3或a＞6
14．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，
那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)．
15．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(x)
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为(　　)．
A．－log2 0102 009 B．－1
C．(log2 0102 009)－1 D．1
17．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．
18．设f(t)＝，那么f′(2)＝________.
19．曲线y＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________．
20．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．
21．若函数f(x)＝的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
22．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．

23．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2，3]，不等式f(x)＋c24．(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
25．给定函数f(x)＝－ax2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋.
(1)求证：f(x)总有两个极值点；
(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值．
26．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
27．设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
28．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
高二上学期理科数学复习学案(7) 选修2-1导数及其应用参考答案
例8、解　函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f ′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；
(2)当x∈(0,1]时，f ′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
例10、解　(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)>0，即x>－ln a时，
f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；
当f′(x)<0，即x<－ln a时，
f(x)在(－∞，－ln a)上递减．
①当00，f(x)在(0，－ln a)上递减，
在(－ln a，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－ln a)＝2＋b；
②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，
从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，
解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)，
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝，
故a＝，b＝.
例11、解　(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，
∵当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(x)>g(1)＝>0，
∴当x>1时，x2＋lnx<x3.
1、答案　A
解析　y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
2、答案　A
解析　因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1.
3、答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，
∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.
4、答案　D
解析　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，
∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，
∴2≤m≤4，故选D.
5、答案　D
解析　y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°.
6、答案　B
解析　′＝1－，所以A不正确； (3x)′＝3xln 3，所以C不正确；
(x2cos x)′＝2xcos x＋x2·(－sin x)，所以D不正确； (log2x)′＝，所以B正确．
7、答案　B
解析　y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx>0，
得，或，当x∈(π，2π)时y′>0，故在(π，2π)上是增函数．
故选B.
8、答案　B
解析　y′＝(sin2x＋cos2x)′＝(sin2x)′＋(cos2x)′＝cos2x·(2x)′－sin2x·(2x)′
＝2cos2x－2sin2x，故应选B.
9、答案　B
解析　∵y′＝1＋cosx，又x∈(0，π)
∴y′>0，∴函数为增函数，故应选B.
10、答案　A
解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)，(0，1)．
11、答案　A
解析　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，
x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
12、答案　B
解析　f′(x)＝＝＝.
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0.x∈(0，1)∪(1，2)时，f′(x)<0.
13、答案　D
解析　因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)有两个不等实根，
所以Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，得a＜－3或a＞6.
14、答案　A
解析　∵x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；
同理f(x)在(－2，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．
答案　C
解析　令F(x)＝ 则F′(x)＝<0
f(x)、g(x)是定义域为R恒大于零的实数
∴F(x)在R上为递减函数，
当x∈(a，b)时，> ∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故应选C.
答案　B
解析　∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009＝log2 010(x1·x2·…·x2 009)＝
log2 010＝log2 010＝－1.
17、答案　±1
解析　f′(x0)＝3x＝3，∴x0＝±1.
18、答案　
解析　∵f(t)＝，
∴f′(t)＝
＝＝，
∴f′(2)＝＝.
19、答案　　x－ey＝0
解析　由于y′＝，∴k＝y′|x＝e＝，故切线的方程为y－1＝(x－e)，故y＝x.
20、答案　21
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴?∴a－b＝－3＋24＝21.
21、答案　a≥0
解析　f′(x)＝′＝a＋，
由题意得，a＋≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.
22、答案　－2
解析　本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．
k＝y′|x＝1＝n＋1，
∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，x＝，∴an＝lg，
∴原式＝lg＋lg＋…＋lg＝lg××…×＝lg＝－2.
23、解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得
即解得
∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.
令f′(x)<0，解得－1令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.
∴f(x)的减区间为(－1，2)，
增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；
在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．
∴x∈[－2，3]时，f(x)的最大值即为
f(－1)与f(3)中的较大者．
f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.
∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．
要使f(x)＋cf(－1)＋c，
即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪.
24、解　f′(x)＝3ax2－b.
(1)由题意得解得
故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?

?
－
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，
当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－25、(1)证明　因为f′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)＝[x－(a＋1)]·[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝a＋1，x2＝a－1.
当x0；
当a－1所以x＝a－1为f(x)的一个极大值点．
同理可证x＝a＋1为f(x)的一个极小值点．
所以f(x)总有两个极值点．
(2)解　因为g′(x)＝1－＝.
令g′(x)＝0，则x1＝a，x2＝－a.
因为f(x)和g(x)有相同的极值点，
且x1＝a和a＋1，a－1不可能相等，
所以当－a＝a＋1时，a＝－；
当－a＝a－1时，a＝.
经检验，当a＝－和a＝时，
x1＝a，x2＝－a都是g(x)的极值点．
26、解　(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．
因为x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当12时f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a，
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.
故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.
27．(1)解　f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得
即
解得
(2)证明　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋
＝－.
当00，当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
28．解　(1)当a＝2时，
f(x)＝(－x2＋2x)ex，
f′(x)＝(－x2＋2)ex.
当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．
同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，
也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，
故a≥.