2.1.1 合情推理 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第二章§2.1.1 合情推理
班级 姓名
学习目标
结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；
能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
3. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;
4. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、新课导学
探究任务一：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .
问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳 .
新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的
的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由
的推理.
※ 典型例题
例1、观察下列等式：1+3=4=，
1+3+5=9=，
1+3+5+7=16=，
1+3+5+7+9=25=，
…… 你能猜想到一个怎样的结论？
变式1：观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
…… 你能猜想到一个怎样的结论？
例2、已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.
变式2：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式.
探究任务二：类比推理
鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.
※ 典型例题
例3、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算
结果
运算律
逆运算
单位元
变式3：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
以点为圆心，r为半径的圆的方程为
例4、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
变式4：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）
新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
二、总结提升
1．归纳推理的定义.
2．归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.
3．类比推理是由特殊到特殊的推理.
4. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.
5. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.
课后作业
一、基础训练题
(　　)1．下列推理是归纳推理的是
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
(　　)2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
(　　)3．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是
A．n(n－1)　　 B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2
(　　)4．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边的一半； (3)三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有
A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不对
(　　)5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．① B．①② C．①②③ D．③
(　　)6．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为
A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓
(　　)7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于
A. B. C. D.
(　　)8．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
(　　)9．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD中，有
AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于
A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA) C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2)
10．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为________．
11．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．
二、提高训练题
12．若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am13．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立．
14．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．
平面区域
顶点数
边数
区域数
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？
选修2-2 第二章§2.1.1 合情推理参考答案
1、[答案]　B
[解析]　由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
2、[答案]　D
[解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．
3、[答案]　C
[解析]　第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.
4、[答案]　C
[解析]　以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.
5、[答案]　C
[解析]　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.
6、[答案]　C
[解析]　观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.
7、[答案]　B
[解析]　因为Sn＝n2an，a1＝1，所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝＝，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4?a4＝＝＝.
所以猜想an＝，故应选B.
8、[答案]　B
[解析]　由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.
9、[答案]　C
[解析]　AC＋BD＋CA＋DB＝(AC＋CA)＋(BD＋DB)＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝4AA＋2(AC2＋BD2)＝4AA＋4AB2＋4AD2，故应选C.
10、[答案]　1?8
[解析]　＝＝·＝×＝.
11、[答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
[解析]　第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}
＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
12、[答案]　2　n2
[解析]　因为am<5，而an＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2.
因为(a1)*＝0，(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，
(a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2，
(a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3.
所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16.
猜想((an)*)*＝n2.
13、[答案]　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)
[解析]　解法1：从分析所提供的性质入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而当n<19－n时，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n时的情形．
由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{bn}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)
证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n
即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)
∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝b＝1.
∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b＝1.
∴(2)式成立，即(1)式成立；
当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；
当8＜n＜17时，(1)式即：
b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n
即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k·bk＝b＝1
∴b18－nb19－n·…·bn＝b＝1
∴(3)式成立，即(1)式成立．
综上可知，当等比数列{bn}满足b9＝1时，有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．
14、[解析]　各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：
平面区域
顶点数
边数
区域数
关系
(1)
3
3
2
3＋2－3＝2
(2)
8
12
6
8＋6－12＝2
(3)
6
9
5
6＋5－9＝2
(4)
10
15
7
10＋7－15＝2
结论
V
E
F
V＋F－E＝2
推广
999
E
999
E＝999＋999－2
＝1996
其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝2.
故可猜想此平面图可能有1996条边．