2.1.2演绎推理 同步学案
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高二理科数学 选修2-2 第二章§2.1.2演绎推理
班级 姓名
学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；
掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
学习过程
一、课前准备
复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.
复习2：合情推理的结论 .
二、新课导学
探究任务一：演绎推理的概念
问题：观察下列例子有什么特点？
（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
（3）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以 .
新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是
由 到 的推理.
探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：
大前提—— ；
小前提—— ；
结论—— .
演绎推理的特点:
1、演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；
2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
※ 典型例题
例1、在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
新知：用集合知识说明“三段论”：
大前提： 小前提： 结 论：
例2、证明函数在上是增函数.
小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.
变式1：用三段论证明：通项公式为的数列是等比数列.
例3 、因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
变式2：在中，，CD是AB 边上的高，求证.
证明：在中，，
所以，
于是.:
指出上面证明过程中的错误.
小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.
三、总结提升
1. 合情推理；结论不一定正确.
2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.
课后作业
一、基础训练题
( )1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形
( )2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是
A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论
( )3．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”．上面推理的错误是
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
( )4．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是
A．① B．② C．③ D．①②
( )5．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是
A．① B．② C．①② D．③
( )6．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理
A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确
( )7．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为
( )8．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
9．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
10．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
二、提高训练题
11．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
12．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
选修2-2 第二章§2.1.2演绎推理参考答案
1、[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2、[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
3、[答案] A
[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
4、[答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
5、[答案] B
[解析] 易知应为②.故应选B.
6、[答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
7、[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.
8、[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
9、[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
10、[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
11、[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等
[解析] 设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，
又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．
因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．
12、[解析] (1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.
∴上述条件等价于
y1＝y2?x＝x?(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－.
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝＋8m>0，即m>－.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则
x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝－x0＋m＝＋m.
由N∈l，得＋m＝－＋b，于是
b＝＋m>－＝.
即得l在y轴上截距的取值范围是.
班级 姓名
学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；
掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
学习过程
一、课前准备
复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.
复习2：合情推理的结论 .
二、新课导学
探究任务一：演绎推理的概念
问题：观察下列例子有什么特点？
（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
（3）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以 .
新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是
由 到 的推理.
探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：
大前提—— ；
小前提—— ；
结论—— .
演绎推理的特点:
1、演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；
2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
※ 典型例题
例1、在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
新知：用集合知识说明“三段论”：
大前提： 小前提： 结 论：
例2、证明函数在上是增函数.
小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.
变式1：用三段论证明：通项公式为的数列是等比数列.
例3 、因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
变式2：在中，，CD是AB 边上的高，求证.
证明：在中，，
所以，
于是.:
指出上面证明过程中的错误.
小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.
三、总结提升
1. 合情推理；结论不一定正确.
2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.
课后作业
一、基础训练题
( )1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形
( )2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是
A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论
( )3．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”．上面推理的错误是
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
( )4．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是
A．① B．② C．③ D．①②
( )5．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是
A．① B．② C．①② D．③
( )6．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理
A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确
( )7．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为
( )8．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
9．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
10．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
二、提高训练题
11．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
12．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
选修2-2 第二章§2.1.2演绎推理参考答案
1、[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2、[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
3、[答案] A
[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
4、[答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
5、[答案] B
[解析] 易知应为②.故应选B.
6、[答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
7、[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.
8、[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
9、[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
10、[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
11、[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等
[解析] 设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，
又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．
因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．
12、[解析] (1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.
∴上述条件等价于
y1＝y2?x＝x?(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－.
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝＋8m>0，即m>－.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则
x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝－x0＋m＝＋m.
由N∈l，得＋m＝－＋b，于是
b＝＋m>－＝.
即得l在y轴上截距的取值范围是.