2.2.1综合法和分析法 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第二章§2.2.1综合法和分析法
班级 姓名
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
学习过程
一、课前准备
合情推理分__________和__________，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法------- 与 。
二、新课导学
例1、已知：是不全相等的正数，求证: ．
证明：

1、综合法的定义：
一般的，利用___________________和某些数学_________,__________,__________等经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立。
（1）综合法证明逻辑关系是：
P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论
（2）综合法的思维特点是：
由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
变式1、求证：对于任意角θ，
变式2、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证：△ABC为等边三角形.
证明：由 A, B, C成等差数列，有_________________． (1)
因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． (2)
由(1)(2)，得B=_______.
由a, b，c成等比数列，有_______________. (3)
由余弦定理及(3)，可得_______________________________________________. (4)
再由(4)，得__________________________. 即, ______________________
因此 . 从而__________.
所以__________________________
例2、回顾基本不等式： (a>0,b>0)的证明.
2、分析法定义：一般的，从_______________________出发，逐步寻求是它成立的________________，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这个条件可以是：_________________，________________，________________，____________________，______________________。
（1）用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（2）分析法的思维特点是：
执果索因，即从结论出发，步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。
例3、求证：
证明：因为都是正数，所以为了证明
只需证明____________________________
展开得 _____________________________
即 ______________________
因为______________成立，
所以_____________________________成立
即证明了
“分析法”格式：要证：((
即证：((
即证：((
((显然成立
所以 结论成立
变式3、已知，求证。
三、总结提升
综合法：“由因导果”，条理清晰，易于表述。
分析法：“执果索因”，解题方向比较明确，用于寻找解题思路；
课后作业
一、基础训练题
1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－. ∵x>0，∴ex>1,0<<1
∴ex－>0，即f′(x)>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是(　　)
A．综合法　　　　 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是
2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a索的因应是(　　)
A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
3．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)
A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定
4．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是(　　)
A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβ B．sin(α＋β)＞cosα＋cosβ
C．cos(α＋β)＞sinα＋sinβ D．cos(α＋β)5．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤； ③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝，C(x)＝，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　)
①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；
③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)； ④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．
A．①③ B．②④ C．①④ D．①②③④
7．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
8．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________．
9．给出下列不等式：
①a>b>0，且a2＋＝1，则ab>a2b2；
②a，b∈R，且ab<0，则≤－2；
③a>b>0，m>0，则>；
④≥4(x≠0)．
其中正确不等式的序号为________．
10．设a>0，b>0，a＋b＝1.
求证：(1)＋＋≥8；(2)2＋2≥.
二、提高训练题
11．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是12．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
选修2-2 第二章§2.2.1综合法和分析法参考答案
1、[答案]　A
[解析]　该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.
2、[答案]　C
[解析]　要证<a
只需证b2－ac<3a2
只需证b2－a(－b－a)<3a2
只需证2a2－ab－b2>0.
只需证(2a＋b)(a－b)>0，
只需证(a－c)(a－b)>0.
故索的因应为C.
3、[答案]　B
[解析]　q＝≥＝＋＝p.
4、[答案]　D
[解析]　∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cosα＞cos(α＋β)
又cosβ＞0，∴cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．
5、[答案]　C
[解析]　∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.
6、[答案]　D
[解析]　∵S(x)＝，C(x)＝，∴S(x＋y)＝，
S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝·＋·
＝＝＝.
∴S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)
同理：S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y) C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)
C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．应选D.
7、[答案]　≤
[解析]　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， ∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
8、[答案]　1
[解析]　法一：∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
则f(－x)＋f(x)＝＋＝0 ∴a＝1.
法二：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝＝0，
∴a＝1.
9、[答案]　①②④
[解析]　①a>b>0，∴a≠ ∴a2＋＝1>2＝ab
∴1－ab>0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0，∴ab>a2b2正确．
②＋2＝ ∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2，②正确；
③－＝ ∵a>b>0，m>0，
∴b(b＋m)>0，b－a<0，∴<0， ∴<，③不正确．
④＝|x|＋≥4，④正确．
10、[证明]　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，∴≥4.
∴＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8，∴＋＋≥8.
(2)∵≤，则≥2
∴2＋2≥22＝≥≥.
∴2＋2≥.
11、[答案]　≤a≤
[解析]　|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1
由题意知?(a－1，a＋1)则有，(且等号不同时成立)解得≤a≤.
12、[证明]　要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，只需证lg>lg(a·b·c)，
即证··>abc.
因为a，b，c为不全相等的正数，
所以≥>0，≥>0，≥>0，
且上述三式中等号不能同时成立．
所以··>abc成立，
所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc成立．