2.2.2反证法 同步学案
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高二理科数学 选修2-2 第二章§2.2.2反证法
班级 姓名
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
探究任务：反证法
问题1：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题2：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上．为什么？
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试一试：
证明：不可能成等差数列．
反思：反证法的基本步骤：
假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
方法实质：反证法是利用互为逆否关系的两个命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
※ 典型例题
例1、已知，，且．试证：，中至少有一个小于2．
变式1：证明：在中,若是直角,则一定是锐角．
例2、求证：、、（a、b、c是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
变式2：已知，证明：关于的方程有且只有一个根．
三、总结提升
1、反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 2、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，
例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n—1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 3、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
课后作业
一、基础训练题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数
5．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中( )
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是
．
用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设
的内容是 ．
9．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
10．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
11．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，
求证：a、b、c中至少有一个大于0.
二、提高训练题
12．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足
xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1 D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
13．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
选修2-2 第二章§2.2.2反证法参考答案
1、[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2、[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
3、[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.
4、[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
5、[答案] C
[解析] ＋＋＝＋＋
∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋＝－≤－2
b＋＝－≤－2
c＋＝－≤－2
∴＋＋≤－6
∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.
6、[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
7、[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．
8、[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．
9、[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
10、[证明] 假设bc＝0.
(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．
(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0；但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．
(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实根矛盾．
综上所述，可知bc≠0.
11、证明 设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
12、[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.
13、[证明] 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
14．(1)解 设公差为d，由已知得
∴d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，
∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
班级 姓名
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
探究任务：反证法
问题1：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题2：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上．为什么？
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试一试：
证明：不可能成等差数列．
反思：反证法的基本步骤：
假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
方法实质：反证法是利用互为逆否关系的两个命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
※ 典型例题
例1、已知，，且．试证：，中至少有一个小于2．
变式1：证明：在中,若是直角,则一定是锐角．
例2、求证：、、（a、b、c是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
变式2：已知，证明：关于的方程有且只有一个根．
三、总结提升
1、反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 2、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，
例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n—1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 3、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
课后作业
一、基础训练题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数
5．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中( )
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是
．
用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设
的内容是 ．
9．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
10．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
11．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，
求证：a、b、c中至少有一个大于0.
二、提高训练题
12．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足
xn
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1 D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
13．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
选修2-2 第二章§2.2.2反证法参考答案
1、[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2、[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
3、[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.
4、[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
5、[答案] C
[解析] ＋＋＝＋＋
∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋＝－≤－2
b＋＝－≤－2
c＋＝－≤－2
∴＋＋≤－6
∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.
6、[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
7、[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．
8、[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．
9、[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
10、[证明] 假设bc＝0.
(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．
(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0；但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．
(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实根矛盾．
综上所述，可知bc≠0.
11、证明 设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
12、[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.
13、[证明] 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
14．(1)解 设公差为d，由已知得
∴d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，
∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．