2.3数学归纳法(1) 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第二章§2.3数学归纳法(一)
班级 姓名
学习目标
了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
数学归纳法中递推思想的理解.
学习过程
一、课前准备
复习：在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.
二、新课导学
探究任务：数学归纳法
问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
新知：数学归纳法两大步：
（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;
（2）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
试试：你能证明数列的通项公式这个猜想吗?
反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.
关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
※ 典型例题
例1、用数学归纳法证明:
变式1：用数学归纳法证明:
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
例2、
变式2：设数列{an}满足an+1=an2(nan+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1(3时，证明：对所有的n(1，有an(n+2
练习：(1)用数学归纳法证: (n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（ ）
A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项
(2)用数学归纳法证明(n＋1)×(n＋2)×…×(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1时，右端需增乘的代数式为________．21·cn
三、总结提升
1. 数学归纳法的步骤
2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.
课后作业
一、基础训练题
1．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(　　)
A. B.＋cosα C.＋cosα＋cos3α D.＋cosα＋cos3α＋cos5α
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)
A. B. C. D.
3．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D.
4．用数学归纳法证明“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的说法是(　 )
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立
5．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
②假设n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以n＝k＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n，等式都成立．
以上证明错在何处？ .
7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是 ．
8．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
9．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
二、提高训练题
10．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋> (n>2)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)　　21*cnjy*com
A．增加了一项 B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项
11．在数列{an}中，a1＝a2＝1，当n∈N*时，满足an＋2＝an＋1＋an，且设bn＝a4n，求证：{bn}的各项均为3的倍数．
选修2-2 第二章§2.3数学归纳法(一)参考答案
1、[答案]　B
[解析]　令n＝1，左式＝＋cosα.故选B.
2、[答案]　B
[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝an　(n≥2)，
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，
a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝
猜想an＝ .故选B.
3、[答案]　B
[解析]　n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘
＝2(2k＋1)．故选B.
4、[答案]　D
[解析]　A中n＝k时，k不一定是奇数，不正确；B中n＝k＋1为偶数，不正确；
C中2k＋1>k＋1与归纳假设矛盾．故选D.
5、[答案]　5
[解析]　25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．
6、[答案]　没有用上归纳假设
[解析]　由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．
7、解析　观察不等式中分母的变化便知．
答案　＋＋…＋＋>－
8、[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
9、解　(1)a2＝＝＝， a3＝＝＝.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：①当n＝1时，结论显然成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时结论成立．
根据①②可知，结论对任意正整数n都成立，
即an＝.
10、[答案]　C　
[解析]　当n＝k时，左边＝＋＋…＋.
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋
.
11、[证明]　(1)∵a1＝a2＝1，
故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3.
∴b1＝a4＝3，当n＝1时，b1能被3整除．
(2)假设n＝k时，即bk＝a4k是3的倍数．
则n＝k＋1时，bk＋1＝a4(k＋1)＝a(4k＋4)＝a4k＋3＋a4k＋2＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＝3a4k＋1＋2a4k.
由归纳假设，a4k是3的倍数，故可知bk＋1是3的倍数．
∴n＝k＋1时命题正确．
综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n，数列{bn}的各项都是3的倍数．