2.3数学归纳法(2)同步学案

高二理科数学 选修2-2 第二章§2.3数学归纳法(二)
班级 姓名
题型一、数学归纳法证明等式问题：
例1、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
例2、已知正数数列{an}中,前n项和为Sn,且用数学归纳法证明:
题型二、数学归纳法证明整除问题：
例3、用数学归纳法证明: 能被8整除.
题型三、数学归纳法证明几何问题：
例4、如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么：
（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成＿＿＿条线段？将圆最多分割成＿＿＿部分？
（2）猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成＿＿＿＿＿＿条线段？
（3）猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分？并用数学归纳法证明你的猜想．
题型四、数学归纳法证明不等式问题：
例5、用数学归纳法证明:
例6、证明不等式:
例7、求证:
例8、已知求证 :
课后作业
班级 姓名
一、基础训练题
1．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是(　　)2-1-c-n-j-y
A．2k－1项 B．2k＋1项 C．2k项 D．以上都不对
2．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证(　　)
A．a4k＋1能被4整除 B．a4k＋2能被4整除
C．a4k＋3能被4整除 D．a4k＋4能被4整除
3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
4．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)
过程全都正确 B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
5．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成(　　)
A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1) B．6k(k＋1)(2k＋1)
C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2 D．以上都不对
6．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
7．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N*都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少？并证明之．
9．证明不等式××…×<(n∈N*)．
二、提高训练题
10．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明Sn＝时，第二步从k到k＋1应添加的项为________．
11．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．2·1·c·n·j·y
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，
证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．
选修2-2 第二章§2.3数学归纳法(二)参考答案
[答案]　C　
[解析]　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋. 因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
2、[答案]　D
[解析]　在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.
3、[答案]　C
[解析]　由凸n边形变为凸n＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n－2)个顶点连成(n－2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故选C.
4、[答案]　D
[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
5、[答案]　C
[解析]　当n＝k＋1时，原式 ＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2.故选C.
6、[答案]　5
[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
7、[解析]　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
8、解　∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，
∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．
证明：n＝1,2时，由上得证，假设n＝k(k∈N*，k≥2)时，
f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，
则n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k
＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)．
∴f(k＋1)能被36整除．因此，对任意n∈N*，f(n)都能被36整除．
又∵f(1)不能被大于36的数整除，
∴所求最大的m值等于36.
9、证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，显然<，不等式成立．
(2)假设n＝k时，不等式成立，即××…×<，
则n＝k＋1时，××…××<×＝，
要证n＝k＋1时，不等式成立，只要<成立．
即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2.
即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.
该不等式显然成立．
即n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．
10、[答案]　
[解析]　Sk＋1－Sk＝－＝.
11、(1)解　由题意：Sn＝bn＋r，
当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)证明　当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，
因此bn＝2n(n∈N*)，
所证不等式为··…·>.
①当n＝1时，左式＝，右式＝.左式>右式，所以结论成立，
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，
则当n＝k＋1时，··…·>·＝.
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式＝≥成立，
故≥成立，
所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．