3.1.1数系的扩充与复数的概念 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第三章§3.1.1数系的扩充与复数的概念
班级 姓名
学习目标
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.
学习过程
一、课前准备
复习1：回忆实数系、数系的扩充脉络．

用集合符号表示为：
复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（回顾根的个数与的关系）：
（1） （2） （3）

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复数的定义
问题1：方程的解是什么？
为了解决此问题，我们定义，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .
新知1：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集.

试一试：口答下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
， ， ， ， ， ， ， 0．
反思：（1）形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部.
（2）对于复数
当且仅当 时，它是实数；
当 时，它是虚数；
当 时，它是纯虚数；
探究任务二：复数的相等
新知2：若两个复数与的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.
例如：= ； =0 .
注意:两复数不能比较大小.
※ 典型例题
例1、实数取什么值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．
变式1：已知复数，
试求实数分别取什么值时，分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．
小结：数集的关系：
例2、已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，
试求：的值.
练习：（1）设复数，则为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
（2）已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈ R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i
小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.
三、总结提升
1. 复数的有关概念；
2. 两复数相等的充要条件；
3. 数集的扩充.
课后作业
一、基础训练题
1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是(　　)
A．①　　　 　B．②　　 　　C．③　　 　　D．④
2．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．a＝0?a＋bi为纯虚数 B．b＝0?a＋bi为实数
C．a＋(b－1)i＝3＋2i?a＝3，b＝－3 D．－1的平方等于i
3．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a≤0
4．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2
6．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
7．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．
8．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.
9．若x10．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
二、提高训练题
11．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－ B．2kπ＋ C．2kπ± D.＋(以上k∈Z)
12．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是______．
13．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
选修2-2 第三章§3.1.1数系的扩充与复数的概念参考答案
1、[答案]　D
[分析]　由复数的有关概念逐个判定．
[解析]　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
2、[答案]　B
[解析]　a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i?a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.
3、[答案]　D
[解析]　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D.
4、[答案]　A
[解析]　解法一：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.
解法二：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.
5、[答案]　C
[解析]　若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
6、[答案]　2
[解析]　方程可化为解得x＝2.
7、[答案]　－2
[解析]　如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2.
8、[答案]　1
[解析]　复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1.
9、[解析]　由复数相等的条件知，
∵x＜y＜0，∴.
10、[解析]　∵log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，∴
∴m＝4，故当m＝4时，log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)是纯虚数．
11、[答案]　B
[解析]　由得(k∈Z)
∴θ＝2kπ＋.选B.
12、[答案]　[3,5]
[解析]　∵z1＝z2，∴
∴λ＝4－cosθ.
又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]．
13、[解析]　∵M∪P＝P，∴M?P
∴由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得，解之得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i
得解之得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.