3.1.2复数的几何意义 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第三章§3.1.2复数的几何意义
班级 姓名
学习目标
理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.
学习过程
一、课前准备
复习1：复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？
（1）当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿时，复数为实数；
（2）当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿时，复数为虚数；
（3）当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿时，复数为纯虚数；
复习2：若，则＿＿＿，＿＿＿
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复平面
问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.
结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.
新知：
1、复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.
复数与复平面内的点一一对应.
显然，实轴上的点都表示实数；
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数的几何意义:
复数复平面内的点；
复数平面向量；
复平面内的点平面向量.
注意：人们常将复数说成点或向量，规定：相等的向量表示同一复数.
复数的模
向量的模叫做复数的模,记作或．由模的定义知计算如下：
如果,那么是一个实数,它的模等于(就是的绝对值),
反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.
※ 典型例题
例1、在复平面内描出复数，，，，，，，0分别对应的点.
变式1：说出图中复平面内各点所表示的复数
(注：每个小正方格的边长为1).
小结：复数复平面内的点.
例2、已知复数，试求实数分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线上；（4）在上半平面（含实轴）．
变式2：若复数表示的点（1）在虚轴上，求实数的取值；（2）在右半平面呢？
小结：复数平面向量.
三、总结提升
1. 复平面的定义：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面；
2. 复数的几何意义；
复数复平面内的点；
复数平面向量；
复平面内的点平面向量.
复数的模：
课后作业
一、基础训练题
1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则(　　)
A．a>0，b<0　　　　　B．a>0，b>0 C．a<0，b<0 D．a<0，b>0
2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
3．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是(　　)
A．关于x轴对称　 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列命题中假命题是(　　)
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
6．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是(　　)
A．－－ D．x＝－或x＝2
7．复平面内向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i
8．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
9．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，求m的取值范围．
10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上； (2)位于一、三象限； (3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
二、提高训练题
11．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝＋i的模的取值范围是________．
12．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是_ ．
13．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，当θ为何值时
(1)z1＝z2； (2)z1，z2对应点关于x轴对称； (3)|z2|<.
14．已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求||及||的值并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
选修2-2 第三章§3.1.2复数的几何意义参考答案
1、[答案]　D
[解析]　复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0.
2、[答案]　C
[解析]　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
3、[答案]　B
[解析]　在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
4、[答案]　C
[解析]　z＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴Z点在第三象限．故应选C.
5、[答案]　D
[解析]　①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0?.?|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
6、[答案]　A
[解析]　由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，解之得－7、[答案]　C
[解析]　由题意＝，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.
8、[答案]　±15－8i
[解析]　设复数z＝a－8i，由＝17，∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.
9、[解析]　将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵复数z对应点位于复平面上的第二象限
∴解得310、[解析]　(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.
(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，
则＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
11、[答案]　[，＋∞)
[解析]　|z|2＝2＋2≥2·＝2. ∴|z|≥.
12、[答案]　
[解析]　∵log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，整理得log2＝0，
∴2m2－6m－6＝m2－6m＋9，即m2＝15，m＝±.
又 ∵m－3>0且m2－3m－3>0，∴m＝.
13、[解析]　(1)z1＝z2???θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
???θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|<?<?3sin2θ＋cos2θ<2?sin2θ<?kπ－<θ14、[解析]　(1)||＝|＋i|＝＝2
||＝＝1.∴||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．
|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，
∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．