3.2复数代数形式的四则运算 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第三章§3.2复数代数形式的四则运算
班级 姓名
学习目标
1、掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.
2、理解共轭复数的概念；
3、掌握复数的代数形式的乘、除运算.
学习过程
一、课前准备
复习1：试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.
复习2：求复数的模
二、新课导学
探究任务一：复数代数形式的加减运算
规定：复数的加法法则如下：设，是任意两个复数，那么。
很明显，两个复数的和仍然是 .
问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？
新知：对于任意，有
探究任务二：复数加法的几何意义
问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算，有==（ ）
新知：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
试试：计算
（1）= （2）=
（3）= （4）=
反思：复数的加法运算即是：
探究任务三：复数减法的几何意义
问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.
新知：复数的减法法则为：
由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.
探究任务四：复数代数形式的乘法运算
规定，复数的乘法法则如下：设，是任意两个复数，那么
=
即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可.
新知：对于任意，有
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.
探究任务五：共轭复数
新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
试试：的共轭复数为 ; 的共轭复数为 ; 的共轭复数为 ;
问：若是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：
（2）是一个怎样的数？
探究任务六：复数的除法法则
※ 典型例题
例1、计算
小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.
例2、已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，，，试求：
（1）表示的复数； （2）表示的复数； （3）B点对应的复数.
变式1： ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，求点D对应的复数.
小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：
例3、 计算：
（1）； （2）
变式2：计算：
（1）； （2）； （3）
小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算.
例4、计算（1）； （2）
变式3：计算（1） （2）
小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。
三、总结提升
1、两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.
2、复数的乘除运算；
3、共轭复数的定义.
课后作业
一、基础训练题
1．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于(　　)
A．－2b－2bi B．－2b＋2bi C．－2a－2bi D．－2a－2ai
2．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)
A．4 B．－1 C．6 D．0
3．?ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A．2－3i　 　 B．4＋8i　 　C．4－8i　 　 D．1＋4i
4．i是虚数单位，＝(　　)
A.－i　　　　 B.＋i C.＋i D.－i
5．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)
A．2i B．i C．－i D．－2i
6．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是(　　)
A．－15 B．－3 C．3 D．15
7．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝(　　)
A．2－i B．2＋i C．－2－i D．－2＋i
8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.
9．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为
3－i，则点C对应的复数为________．
10.表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
11．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.
12．计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)＋2000＋；
二、提高训练题
13．计算：1＋in＋i2n＋…＋i2000n(n∈N)．
14．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．
(1)求b，c的值；(2)试证明1－i也是方程的根．
15．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．
选修2-2 第三章§3.2复数代数形式的四则运算参考答案
1、[答案]　A
[解析]　原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
2、[答案]　B
[解析]　z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0
∴解得m＝－1，故应选B.
3、[答案]　C
[解析]　对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
4、[答案]　B
[解析]　＝＝＝＋i，故选B.
5、[答案]　D
[解析]　本小题主要考查复数的运算．
设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i，
∴＝0，∴b＝－2，
∴z＝－2i，故选D.
6、[答案]　B
[解析]　＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
7、[答案]　A
[解析]　考查复数的运算．
z＝－1＋2i，则＝＝＝2－i.
8、[答案]　16i
[解析]　原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
9、[答案]　4－2i
[解析]　∵对应的复数是1＋2i，
对应的复数为3－i，
∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
10、[答案]　1
[解析]　本小题考查复数的除法运算．
∵＝＝i，∴a＝0，b＝1.
因此a＋b＝1.
11、[答案]　1＋i
[解析]　本题主要考查复数的运算．
∵z＝i(2－z)，∴z＝＝1＋i.
12、[解析]　(1)解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i＝0＋(－11)i＝－11i.
[解析]　(2)原式＝＋(－i)100＋＝i＋1＋＋i＝＋i.
13、当n＝4k(k∈N)时，原式＝1＋1＋…＋1＝2001.
当n≠4k(k∈N)时，原式＝＝＝＝1.
14、[解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0
即b＋c＋(2＋b)i＝0
∴解得.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0
把1－i代入方程左边得
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立
∴1－i也是方程的根．
15、[解析]　∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1
即cos(α＋β)＝.