2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷
一.填空题
1．（3分）已知O（0，0）、A（1，1），则直线OA的倾斜角为　 　
2．（3分）经过点P（1，0），且与y轴平行的直线方程为　 　
3．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为　 　．
4．（3分）圆心为C（1，1），半径为1的圆的方程是　 　
5．（3分）两直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣1＝0的夹角为　 　
6．（3分）直线x+y﹣1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长等于　 　．
7．（3分）如果椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，则此椭圆的标准方程为　 　
8．（3分）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是　 　
9．（3分）若椭圆的左焦点在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则p的值为　 　
10．（3分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为　 　．
11．（3分）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝　 　．

12．（3分）已知平面上有两定点A、B，该平面上一动点P与两定点A、B的连线的斜率乘积等于常数m（m∈R），则动点P的轨迹可能是下面哪种曲线：①直线；②圆；③抛物线；④双曲线；⑤椭圆　 　（将所有可能的情况用序号都写出来）
二.选择题
13．（3分）直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．重合 D．由m决定
14．（3分）经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程是（　　）
A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8y
C．x2＝y或y2＝﹣8x D．y2＝x或y2＝﹣8x
15．（3分）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定
16．（3分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|＝4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y＝x+3；②x＝﹣2；③y＝2；④y＝2x+1，其中为“A类直线”的是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
三.解答题
17．求曲线x2+y2＝1与直线y＝x+1的交点坐标．
18．已知双曲线的一个焦点为（5，0），其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．
19．已知抛物线y2＝4x与椭圆有公共焦点F1，椭圆的另一个焦点为F2，P是这两曲线的一个交点，求△PF1F2的面积．
20．求过定点P（0，1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
21．已知曲线M上的动点P（x，y）到定点F（1，0）距离是它到定直线l：x＝4距离的一半．
（1）求曲线M的方程；
（2）设过点F（1，0）且倾斜角为的直线与曲线M相交与A、B两点，在定直线l上是否存在点C，使得AC⊥BC，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
一.选作题，选择题
22．（3分）以下四个命题：
①满足的复数只有±1，±i；
②若a、b是两个相等的实数，则（a﹣b）（a+b）i是纯虚数；
③；
④复数z∈R的充要条件是；
其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．（3分）已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c则a∥c；
②若a∥b，b⊥c则a⊥c；
③若a∥β，b?β，则a∥b；
④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.解答题
24．已知关于x的方程x2+4x+m＝0（m∈R）的两个根为α、β，且|α﹣β|＝2，求m的值．
25．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（1）求EF与平面ABCD所成的角；
（2）求异面直线EF与BD所成的角．




2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，再写出它的倾斜角．
【解答】解：点O（0，0）、A（1，1），
则直线OA的斜率为k＝，
所以直线OA的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，是基础题．
2．【分析】与y轴平行的直线方程斜率不存在，直线方程为x＝x0．
【解答】解：过点P（1，0），且与y轴平行的直线方程为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题．
3．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
【解答】解：y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4．【分析】利用圆的标准方程，求解即可．
【解答】解：圆心为C（1，1），半径为1的圆的方程是：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是基本知识的考查．
5．【分析】设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则k1＝﹣＝1，k2＝﹣＝﹣1，所以k1?k2＝﹣1，所以夹角为．
【解答】解：依题意，设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，
则k1＝﹣＝1，k2＝﹣＝﹣1，
所以k1?k2＝﹣1，
所以直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣1＝0的夹角为．
故填：．
【点评】本题考查了直线与直线的位置关系、直线斜率的求法．属于基础题．
6．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y﹣1＝0的距离d，即可求出弦长．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，
故直线x+y﹣1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，正确运用圆的性质是关键，是基础题．
7．【分析】由椭圆的焦点坐标分析可得该椭圆的焦点在x轴上，且c＝，分析有a＝b，解可得a2、b2的值，将其代入椭圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的一个焦点坐标为，c＝，则其焦点在x轴上，
又由长轴长是短轴长的倍，即2a＝（2b），即a＝b，
则有a2﹣b2＝2b2＝c2＝2，
解可得a2＝3，b2＝1，
则椭圆的标准方程为：；
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，解题时注意椭圆标准方程的形式．
8．【分析】由题意得出两分母的符号，从而得出m的范围．
【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，
∴，解得m＞1．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的解得性质以及双曲线方程的应用，属于基础题．
9．【分析】求出椭圆的左焦点的坐标，结合抛物线的准线方程，列出方程，然后求解p即可．
【解答】解：椭圆的左焦点（﹣3，0），
椭圆的左焦点在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，
可得＝3，解得p＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
10．【分析】确定双曲线的焦点、顶点坐标，可得椭圆的顶点、焦点坐标，由此可求椭圆的方程．
【解答】解：C：的焦点为（±3，0），顶点为（±2，0）
∴椭圆的顶点为（±3，0），焦点为（±2，0）
∴b2＝a2﹣c2＝5
∴椭圆的方程为
故答案为：
【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
11．【分析】抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|＝2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．
则易得AB⊥x轴，即可得答案．
【解答】解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．
已知|AF|＝2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．
可知|AF|＝|AA1|＝|KF|＝2∴AB⊥x轴故|AF|＝|BF|＝2．
故填|BF|＝2．
【点评】活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．
12．【分析】设|AB|＝2a（a＞0），以AB所在直线为x轴，以AB得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣a，0），B（a，0），设P的坐标为（x，y）（x≠±a），由题意，，即y2＝mx2﹣ma2．然后对m分类分析得答案．
【解答】解：设|AB|＝2a（a＞0），以AB所在直线为x轴，以AB得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（﹣a，0），B（a，0），设P的坐标为（x，y）（x≠±a），
则kPA＝，，
由题意，，即y2＝mx2﹣ma2．
当m＝0时，方程化为y＝0，表示直线；
当m＝﹣1时，方程化为x2+y2＝a2，表示圆；
当m＞0时，方程化为，表示双曲线；
当m＜0且m≠﹣1时，方程化为，表示椭圆．
∴动点P的轨迹可能是：：①直线；②圆；④双曲线；⑤椭圆．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．
二.选择题
13．【分析】根据直线的斜率的关系即可求出．
【解答】解：直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0斜率分别为﹣和﹣，既不相等，且乘积也不为﹣1，
故直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0的位置关系是相交，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与直线的位置关系，属于基础题．
14．【分析】由于点P（4，﹣2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，把 点P（4，﹣2）代入方程可得 p值，即得抛物线方程．
【解答】解：由于点P（4，﹣2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为
y2＝2px，或x2＝﹣2my，把 点P（4，﹣2）代入方程可得p＝，或 m＝4，
故抛物线的标准方程y2＝x 或x2＝﹣8y，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，是解题的关键．
15．【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．
【解答】解：椭圆 得
∴c1＝，
∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），
双曲线：有
则半焦距c2＝
∴
则实数m＝±1
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．
16．【分析】由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＝1，把直线方程分别代入椭圆方程看是否有解即可判断出结论．
【解答】解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＝1，
①把y＝x+3代入椭圆方程并整理得，7x2+24x+24＝0，∵△＜0，∴y＝x+3不是“A型直线”．
②把x＝﹣2代入椭圆方程，成立，∴x＝﹣2是“A型直线”．
③把y＝2代入椭圆方程，不成立，∴y＝2不是“A型直线”．
④把y＝2x+1代入椭圆方程并整理得，19x2﹣48x+24＝0，∵△＝（﹣48）2﹣4×19×24＞0，∴y＝﹣2x+3是“A型直线”．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三.解答题
17．【分析】根据题意，联立曲线与直线的方程，变形可得x2+x＝0，解可得x的值，代入曲线方程可得y的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，由，得x2+（x+1）2＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得；x＝﹣1或x＝0，
所以，由y＝x+1得，y＝0或y＝1；
即曲线x2+y2＝1与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0）或（0，1）．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，直接联立曲线与直线的方程即可，属于基础题．
18．【分析】设出双曲线方程，利用渐近线方程，推出a，b的方程，然后利用离心率，转化求解a，b即可得到双曲线方程．
【解答】解：由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为，
由已知渐近线方程为，所以，…………………（4分）
又因为双曲线的一个焦点为（5，0），所以，a2+b2＝52…………………（6分）
由…………………（10分）
故所求双曲线的标准方程为．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力．
19．【分析】求出抛物线的焦点坐标，与椭圆的焦点坐标相同，求解k，然后联立方程组，求出交点坐标，转化求解三角形的面积．
【解答】解：因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），所以9﹣k＝1，解得，k＝8………（3分）
所以，椭圆方程为．…………………（4分）
由，得2x2+9x﹣18＝0，解得，或x＝﹣6（舍去）
所以，，即点…………………（8分）
又因为|F1F2|＝2，所以，．…………………（10分）
【点评】本题考查椭圆的简单性质，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
20．【分析】设直线l的斜率等于k，则当 k＝0时，直线l与抛物线的对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有有关公共点．再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．
【解答】解：①设直线l的斜率等于k，则当 k＝0时，直线l的方程为 y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点，
当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为 y＝kx+1，
代入抛物线的方程可得：
k2x2+（2k﹣2）x+1＝0，根据判别式等于0，求得 k＝，故切线方程为 y＝x+1．
②当斜率不存在时，直线方程为x＝0，经过检验可得此时直线也与抛物线y2＝2x相切．
故所求的直线方程为：y＝1，或 x＝0，或 x﹣2y+2＝0．
【点评】本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．解题中容易漏掉斜率不存在的讨论．
21．【分析】（1）由题意列关于x，y的关系式，整理即可得到曲线M的方程；
（2）直线AB的方程为，与椭圆方程联立，求得A，B坐标，假设在定直线l上存在点C（4，t），使得AC⊥BC，则．得到关于t的一元二次方程，由方程无实数解，可得在定直线l上不存在点C，使得AC⊥BC．
【解答】解：（1）由题意可得，，
化简得，曲线M的方程为；
（2）直线AB的方程为，设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，得5x2﹣8x＝0，解得，x1＝0，．
分别代入，得，．
即点，．
假设在定直线l上存在点C（4，t），使得AC⊥BC，则．
∵，．
∴，
整理得．
∵，
∴上述方程无实数解，即在定直线l上不存在点C，使得AC⊥BC．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
一.选作题，选择题
22．【分析】对于①z2＝1，可判断错误；对于②找出反例a＝b＝0不满足题意，判定错误；③若z＝i，则其不正确；对于④z＝，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
【解答】解：对于①有：z2＝1，z＝±i，z2＝﹣1，不满足，可判断错误；
②（a﹣b）+（a+b）i＝2ai，∴a＝b≠0时，（a﹣b）+（a+b）i是纯虚数，错误；
③若z＝i，则其不正确；
对于④z＝，则其虚部为0，故正确；
故答案为④．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念、充要条件、命题的真假判断与应用，是基础题．
23．【分析】①利用正方体的棱的位置关系即可得出；
②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；
③若a∥β，b?β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；
④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b?β，即可判断出．
【解答】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；
②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；
③若a∥β，b?β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；
④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b?β，故不正确．
综上可知：只有②正确．
故选：A．
【点评】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．
二.解答题
24．【分析】根据复数根虚根必共轭的性质设α＝a+bi，β＝a﹣bi，根据条件求出a，b即可得到结论．
【解答】解：∵方程x2+4x+m＝0（k∈R）有两个虚根α和β，
可设α＝a+bi，β＝a﹣bi（a，b∈R）．
∴α+β＝2a＝﹣4，得a＝﹣2，
αβ＝a2+b2＝m，
∵|α﹣β|＝2，
∴|2bi|＝2，
联立解得：b＝±1，
则m＝a2+b2＝4+1＝5．
【点评】本题主要考查复数根的计算，利用待定系数法结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．
25．【分析】（1）在Rt△EFA中计算∠EFA；
（2）取BC中点G，则∠EFG为异面直线EF与BD所成的角，在△EFG中利用余弦定理求出∠EFG的大小．
【解答】解：（1）连结FA，∵PA⊥平面ABCD，
∴∠EFA为EF与平面ABCD所成的角，
在Rt△ADF中，，
∴，
所以∠EFA＝，即EF与平面ABCD所成的角为．
（2）取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，
∴∠EFG（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角，
EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝BD＝，
所以在△EFG中，cos∠EFG＝＝，
故异面直线EF与BD所成角为zrccos．

【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面所成角的计算，属于中档题．