江苏省苏州市2008-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）分类汇编：空间向量
文档属性
| 名称 | 江苏省苏州市2008-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）分类汇编：空间向量 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-09 15:56:25 | ||
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文档简介
空间向量
（苏州市2008-2009高二 理（下）期末）16. 在正方体中，为棱的中点。
求证：;
求与平面所成角的正弦值.
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）4.?已知向量a=（2，，x），b=（x，1,2），其中，若a∥b，则x= .
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）16.?(本小题满分14分)如图，在三棱锥C－OAB中，OA⊥OB,CB⊥平面OAB,?OA＝2,?OB＝4,?BC＝6,M为AC的中点，求：
直线OM与AB所成角的余弦值；
直线AB与平面OAC所成角的正弦值.
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）4．在空间直角坐标系中，点P（4，3，7）关于平面 xOz的对称点P’的坐标为 ．
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）17．（本小题满分14分）已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=600,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,使∠BOD=90?.
如图所示建立空间直角坐标系,设点N(0,y,z)是线段BD上一个动点.
①写出y与z的关系,并指出y的取值范围;
②若CN=，试确定N的位置.
(2)求二面角A-BD-O大小的余弦值.
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）3.空间直角坐标系中，点P（1，2，2）到原点O的距离为 ．
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）17．（本小题满分14分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．
求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；
求平面B1BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值；
若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC1，求EP的最大值和最小值．
（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB = 4，AD = 2，A1A = 2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E = λ EC1（λ为实数）．
求二面角D1 AC D的余弦值；
当λ =时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；
求证：直线与直线不可能垂直．
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）3.空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（1，3，-1）,则AB= ．
（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）18.（本小题满分16 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上．
若点P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
若二面角D ? AP ? C 的余弦值为，求PF的长度．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC，A1C1的中点．
求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；
设D是边B1C1上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．
（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）18.在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，DA⊥平面ABE，∠EAB=90°，AB=AD=2，AE=1，F为CE的中点，试求：
异面直线AF与DE所成角的余弦值；
直线AF与平面BDE所成角的正弦值．
答案：
解：如图建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），D1（0，0，2），B1（2，2，2）
所以 =(2，2，0)， =(-2，2，1)
∵ ? =0
∴ ⊥
∴D1B1⊥AE
求出（2）设平面ABE的法向量 =(a，b，1)
∵ =(0，2，0)， =(-2，2，1)
∴
解得a= ，b=0， =(，0，1)
∴sinθ==
x=
解：（1）建立如图所示的坐标系，有O（0，0，0），A（2，0，0），
B（0，4，0），C（0，4，6），M（1，2，3）
∴，
∴=-2+8+0=6
∴cos＜＞==
（2）设平面OAC的法向量为，
则，
∴2a=0，
4b+6c=0，
∴
设直线AB与平面OAC所成的角是θ，
∴sinθ=|cos＜＞=
(4,3,7)
（1）①设N（0，y，z），，
则（0，y，z-3）=λ（0，3，-3），
所以y=3λ，z=3-3λ，
∴y+z=3（0y3）
②N（0，3λ，3-3λ），，
由得，即9λ2-9λ+2=0，
解得或，
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）
（也可以答是线段BD的三等分点，或）
（2）由题意，OB=OD=3，
因为，
所以∠BOD=90°，OB⊥OD
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
.，B（0，0，3）．
所以，
设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），
则有即：
令x=1，则，所以n=
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为n0=（1，0，0）
∴，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为．
3
17．解：（1）A（2，0，0），E（1，0，2），
B（2，2，0），F（2，1，2）．
∴，
． …………………… 2分
则．
∴异面直线AE和BF所成的角的余弦值为． …………………… 4分
（2）平面B1BDD1的一个法向量，…………………… 5分
设平面BFC1的法向量为，
∴
取得平面BFC1的一个法向量． ………………… 7分
． ………………… 8分
∴平面B1BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值为．…………… 9分
（3）设P（x，y，0）（0≤x≤2，0≤y≤2）， …………… 10分
则．
由，得，即x 2y 3 0． …………… 11分
∵0≤x≤2，∴0≤3 2y≤2．则． …………… 12分
∵，
∴当时，EP取得最小值为；
当时，EP取得最大值为． …………… 14分
17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则
，． ………… 2分
设平面的法向量为，
则．
即．令，则．
∴平面的一个法向量．…… 4分
又平面的一个法向量为．
故，
即二面角的余弦值为． ……… 6分
（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．
所以． ……………9分
因为 ，所以为锐角，
从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为． ……………10分
（3）假设，则．
∵，
∴，． ……………12分
∴．化简得．
该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．……14分
因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
所以B（1，0，0），E(，0，1)，P(0，1，)，C（1，2，0）．
所以=(-，0，1)，=(-1，-1，)，
所以cos＜，＞==，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．…（9分）
（Ⅱ）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为n1=（1，0，0）
设P点坐标为（0，2-2t，t），在平面APC中，==(0，2-2t，t)，
=(1，2，0)，所以平面APC的法向量为n2=(-2，1，)，
所以cos＜n1，n2＞==，
解得t=，或t=2（舍）．
此时|PF|=．…（14分）
解：（1）取AC的中点M，连结FM，EM．
∵F，M分别是A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1是矩形，
∴FM∥AA1，FM=AA1=2，
∵AA1∥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∴∠FEM是EF与平面ABC所成的角．
∵E，M分别是BC，AC的中点，
∴EM==1．∴EF==．
∴sin∠FEM==．
∴直线EF与平面ABC所成角的正弦值为．
（2）以A为原点，以AB，AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（2，0，0），E（1，1，0），F（0，1，2）．B1（2，0，2），C1（0，2，2）．
∴=（﹣1，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，2，0），
设=λ=（﹣2λ，2λ，0），则=+=（﹣2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）
∴=2λ+4．
∴cos＜＞===．
∴当即λ=时，cos＜＞取得最大值，即直线BD与EF所成角最小．
此时， =（﹣，，2），∴|BD|=||=．
（苏州市2008-2009高二 理（下）期末）16. 在正方体中，为棱的中点。
求证：;
求与平面所成角的正弦值.
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）4.?已知向量a=（2，，x），b=（x，1,2），其中，若a∥b，则x= .
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）16.?(本小题满分14分)如图，在三棱锥C－OAB中，OA⊥OB,CB⊥平面OAB,?OA＝2,?OB＝4,?BC＝6,M为AC的中点，求：
直线OM与AB所成角的余弦值；
直线AB与平面OAC所成角的正弦值.
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）4．在空间直角坐标系中，点P（4，3，7）关于平面 xOz的对称点P’的坐标为 ．
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）17．（本小题满分14分）已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=600,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,使∠BOD=90?.
如图所示建立空间直角坐标系,设点N(0,y,z)是线段BD上一个动点.
①写出y与z的关系,并指出y的取值范围;
②若CN=，试确定N的位置.
(2)求二面角A-BD-O大小的余弦值.
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）3.空间直角坐标系中，点P（1，2，2）到原点O的距离为 ．
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）17．（本小题满分14分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．
求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；
求平面B1BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值；
若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC1，求EP的最大值和最小值．
（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB = 4，AD = 2，A1A = 2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E = λ EC1（λ为实数）．
求二面角D1 AC D的余弦值；
当λ =时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；
求证：直线与直线不可能垂直．
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）3.空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（1，3，-1）,则AB= ．
（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）18.（本小题满分16 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上．
若点P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
若二面角D ? AP ? C 的余弦值为，求PF的长度．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC，A1C1的中点．
求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；
设D是边B1C1上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．
（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）18.在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，DA⊥平面ABE，∠EAB=90°，AB=AD=2，AE=1，F为CE的中点，试求：
异面直线AF与DE所成角的余弦值；
直线AF与平面BDE所成角的正弦值．
答案：
解：如图建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），D1（0，0，2），B1（2，2，2）
所以 =(2，2，0)， =(-2，2，1)
∵ ? =0
∴ ⊥
∴D1B1⊥AE
求出（2）设平面ABE的法向量 =(a，b，1)
∵ =(0，2，0)， =(-2，2，1)
∴
解得a= ，b=0， =(，0，1)
∴sinθ==
x=
解：（1）建立如图所示的坐标系，有O（0，0，0），A（2，0，0），
B（0，4，0），C（0，4，6），M（1，2，3）
∴，
∴=-2+8+0=6
∴cos＜＞==
（2）设平面OAC的法向量为，
则，
∴2a=0，
4b+6c=0，
∴
设直线AB与平面OAC所成的角是θ，
∴sinθ=|cos＜＞=
(4,3,7)
（1）①设N（0，y，z），，
则（0，y，z-3）=λ（0，3，-3），
所以y=3λ，z=3-3λ，
∴y+z=3（0y3）
②N（0，3λ，3-3λ），，
由得，即9λ2-9λ+2=0，
解得或，
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）
（也可以答是线段BD的三等分点，或）
（2）由题意，OB=OD=3，
因为，
所以∠BOD=90°，OB⊥OD
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
.，B（0，0，3）．
所以，
设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），
则有即：
令x=1，则，所以n=
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为n0=（1，0，0）
∴，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为．
3
17．解：（1）A（2，0，0），E（1，0，2），
B（2，2，0），F（2，1，2）．
∴，
． …………………… 2分
则．
∴异面直线AE和BF所成的角的余弦值为． …………………… 4分
（2）平面B1BDD1的一个法向量，…………………… 5分
设平面BFC1的法向量为，
∴
取得平面BFC1的一个法向量． ………………… 7分
． ………………… 8分
∴平面B1BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值为．…………… 9分
（3）设P（x，y，0）（0≤x≤2，0≤y≤2）， …………… 10分
则．
由，得，即x 2y 3 0． …………… 11分
∵0≤x≤2，∴0≤3 2y≤2．则． …………… 12分
∵，
∴当时，EP取得最小值为；
当时，EP取得最大值为． …………… 14分
17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则
，． ………… 2分
设平面的法向量为，
则．
即．令，则．
∴平面的一个法向量．…… 4分
又平面的一个法向量为．
故，
即二面角的余弦值为． ……… 6分
（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．
所以． ……………9分
因为 ，所以为锐角，
从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为． ……………10分
（3）假设，则．
∵，
∴，． ……………12分
∴．化简得．
该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．……14分
因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
所以B（1，0，0），E(，0，1)，P(0，1，)，C（1，2，0）．
所以=(-，0，1)，=(-1，-1，)，
所以cos＜，＞==，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．…（9分）
（Ⅱ）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为n1=（1，0，0）
设P点坐标为（0，2-2t，t），在平面APC中，==(0，2-2t，t)，
=(1，2，0)，所以平面APC的法向量为n2=(-2，1，)，
所以cos＜n1，n2＞==，
解得t=，或t=2（舍）．
此时|PF|=．…（14分）
解：（1）取AC的中点M，连结FM，EM．
∵F，M分别是A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1是矩形，
∴FM∥AA1，FM=AA1=2，
∵AA1∥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∴∠FEM是EF与平面ABC所成的角．
∵E，M分别是BC，AC的中点，
∴EM==1．∴EF==．
∴sin∠FEM==．
∴直线EF与平面ABC所成角的正弦值为．
（2）以A为原点，以AB，AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（2，0，0），E（1，1，0），F（0，1，2）．B1（2，0，2），C1（0，2，2）．
∴=（﹣1，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，2，0），
设=λ=（﹣2λ，2λ，0），则=+=（﹣2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）
∴=2λ+4．
∴cos＜＞===．
∴当即λ=时，cos＜＞取得最大值，即直线BD与EF所成角最小．
此时， =（﹣，，2），∴|BD|=||=．