江苏省苏州市2008-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）分类汇编：选做题
文档属性
| 名称 | 江苏省苏州市2008-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）分类汇编：选做题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-09 15:55:21 | ||
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文档简介
选做题
（苏州市2008-2009高二 理（下）期末）请从以下4组题中选做2组（每组两题，共4题），如果选做超过2组，则按所做的前两组记分（每小题10分，共40分）
A 组 （选秀4-1：几何证明选讲）
A1. 如图，圆的直径,CD是圆的弦，BA,DC的延长线交于点P，若,求
A2. 如图，在中，AB=AC，延长BC到D,使,交AD于E,连结BE,交AC于点F，求证：AF=FC
B 组 （选秀4-2：矩阵与变换）
B1. 已知,设，解方程
B2. 已知矩阵，若点在矩阵A的变换下得到点
求实数的值
求矩阵A的特征值及特征向量
C 组 （选秀4-4：坐标系与参数方程）
C1. 自极点作射线与直线相交于点，在上取一点,使得，求点的轨迹的极坐标方程
C2. 过点作倾斜角为的直线与曲线相交与两点
写出直线的参数方程；
求的最小值。
D 组 （选秀4-5：不等式选讲）
D1. 已知是正数，求证：，并指出等号成立的条件
D2. 设实数满足，试求的最小值
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）
A组（选修4-1：几何证明选讲）
????A1.如图，在RtΔABC中，∠C是直角，AC=3,BC=4,CD⊥AB于点D，∠A的平分线交CD于点M，交BC于点E,求4，求：
（1）CD的长；
????（2）AE的长.
????
解：（1）∵∠C是直角AC=3，BC=4，∴AB=5
由AB×CD=AC×BC得，CD===
（2）由AE是∠A的平分线交CD于点M，交BC于点E，
∴＝＝
故CE=BC=
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE=
A2.如图.过⊙O的弧AB的中点C作弦CD，CE分别与AB相交于点F、G.
????求证：CD·CF=CE·CG
证明：连接AD，DE，EB，
由A，D，E，B四点共圆，得∠ADE+∠B=180°
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE
∴∠ADC+∠CDE+∠B=180°①
∵点C是弧AB的中点，
∴∠ADC=∠BEC ②
由①②，得∴∠BEC+∠CDE+∠B=180°，即（∠BEC+∠B）+∠CDE=180°，
∴∠EGA+∠CDE=180°，则四边形DFEG内接于圆
∵直线CFD，CGE是该圆的两条割线
∴CD×CF=CG×CE
B组（选修4-2：矩阵与变换）
????
B1.已知直线L:4x-2y+5=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，矩阵M=所对应的变换为TM（a，bR）
（1） 求点A,B在TM作用下所得到的点A’,B’的坐标；
（2） 若变换TM把直线l变换为自身，求M.
解：（1）A（0，），B（-，0），设A′（m，n ），B′（m′，n′）
则==
==
∴A′（，），B′（，）．
（2）在直线l上任取一点P（x，y），设点P在TM的变换下变为点P′（x′，y′），
则=，，所以点P′（3x+ay，bx-y），
∵点P′在直线l上，∴4（3x+ay）-2（bx-y）+5=0，即（12-2b）x+（4a+2）y+5=0，
∵方程（12-2b）x+（4a+2）y+5=0即为直线l的方程4x-2y+5=0，
∴，解得?
∴M=．
B2.已知矩阵,向量a=.
（1） 求A的特征值λ1,,λ2和特征向量a1，a2,；
（2）计算A5a .
解：（1）矩阵A的特征多项式为=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得，当λ2=3时，得．（7分）
（2）由得，得m=3，n=1．
∴==．
C组（选修4-4：坐标系与参数方程）
C1.已知直线l极坐标方程ρ-ρ+3=0,圆M的极坐标方程ρ=4.以极点为原点，极轴为x轴建立直角坐标系.
（1） 写出直线L与圆M的直角标方程；
（2） 设直线l与圆M交于A、B两点，求AB的长.
（1）∵直线l极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+3=0，∴直角坐标方程为 x-y+3=0．
∵圆M的极坐标方程为ρ=4sinθ，故其直角坐标方程为? x2+（y-2）2=4．
（2）圆M的圆心为（0，2），半径等于2，圆心到直线的距离 d==，
∴AB=2=．
C2.已知曲线E的参数方程为（θ为参数，θR）直线l的参数方程为（t为参数，tR）
(1) 求曲线E和直线l的普通方程.
(2) 若点P,Q分别为曲线E,直线l上的动点，求线段PQ长的最小值。
解：（1）曲线E的普通方程为??，直线l的普通方程为 3x+4y-18=0．
（2）设点P（4cosθ，3sinθ），线段PQ≥=≥
，故当PQ与直线l垂直，且 θ=2kπ+，k∈z 时，线段PQ取最小值为?．
D组（选修4-5：不等式选讲）
D1.设ΔABC的三条边为a，b，c，求证：ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2?+c2≥2ac，相加可得 2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
又因为△ABC的三条边为a，b，c，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a2?-ab-ac=a（a-b-c）＜0，a2＜ab+ac，同理可得，b2?-＜ba+bc，c2?＜ca+cb，
相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．
综上可得 ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）成立．
分析：由基本不等式可证 a2+b2+c2≥ab+bc+ca，根据a2?-ab-ac=a（a-b-c）＜0，可得 a2＜ab+ac，同理可得b2?-＜ba+bc，c2?＜ca+cb，相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca），从而证得命题．
点评：本题考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，以及三角形任意两边之和大于第三边，证明a2＜ab+ac，是解题的关键．
D2.已知nN*,求证：
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）A组（选修4－1：几何证明选讲）
A1．如图，矩形 ABCD中，AB﹦a，BC﹦b，M为BC的中点，DE⊥AM，垂足
为E，求证： DE=
A2.如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.
解：如图，因为AE是圆的切线
所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，?
EA2= EC·EB
而EA=ED
所以ED2=EC·EB。
B组（选修4－2：矩阵与变换）
B1．设可逆矩阵 A=的逆矩阵A-1=，求实数 a，b的值．
B2．已知点P（1，1）在矩阵A=(a∈R)对应的变换作用下得到点P'(0,-3)．
（1）求实数 a的值；
（2）求矩阵 A的特征值及特征向量．
C组(选修4-4:坐标系与参数方程)
C1.在极坐标系中,设圆ρ=3上的点到直线ρ(+)=2,的距离为d,求d的最大值.
C2.矩形ABCD的顶点C的坐标为(4,2),顶点A在椭圆上运动,且AB,AD分别平行于x,y轴,求矩形ABCD面积的取值范围.
D组(选修4-5:不等式选讲)
D1.设x+y+z=1,求M=x2+3y2+z2的最小值.
D2.已知关于x的不等式|x-1|+|x+1|≤++对任意正实数a,b,c恒成立,
求实数x的取值范围.
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）A组（选修4－1：几何证明选讲）
A1．在以AB为直径的半圆上有两点M，N，设弦AN与BM交于点P．
求证：．
A1．证明：作于，
为直径，
． ……………… 3分
四点共圆，四点共圆．
……………… 5分
∴，①
∴．② ……………… 7 分
① ②，得．……… 9分
即． ………………………… 10分
A2．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AC =AB，
求证：BN = 2AM．
A2．证明：如图，在△ABC中，
∵CM是∠ACM的平分线，
∴． ………………… 3分
∵， ∴．① ………………… 5分
又∵BA与BC是圆O的两条割线，
∴，即．② ……………… 7分
由①，②可知，． ……………… 9分
∴BN = 2AM． ……………… 10分
B组（选修4－2：矩阵与变换）
B1．已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中，， ，，，．
（1）求出矩阵；（2）确定点及点的坐标．
B1．解：（1）设，
则． …………………… 3分
∴ 解得，．……… 5分
（2）由，得． …………………… 7分
设D（x，y），由，得 ………………… 9分
解得x 1，y 1，∴ ． ………………… 10分
B2．给定矩阵=，= 及向量e1 ，e2 ．
(1)证明M和N互为逆矩阵；
(2)证明e1和e2都是的特征向量．
B2．解：（1）∵MN = = ， …………………… 2分
NM = = ，
∴M和N互为逆矩阵． ……………………… 5分
（2）∵ ==． ……………………… 7分
=． ……………………… 9分
∴e1和e2是M的特征向量． ……………………… 10分
C组（选修4－4：坐标系与参数方程）
C1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，设曲线C与x轴及y轴的交点分别为M，N．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M， N的极坐标；
（2）设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
C1．解：（1）由，得，
∴曲线C的直角坐标方程为，即．……………… 3分
当时，，∴M的极坐标为（2，0）；
当时，，∴N的极坐标为． ……………… 5分
（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为，
∴P的直角坐标为． ………………… 7分
则P的极坐标为． ………………… 9分
∴直线OP的极坐标方程为． ………………… 10分
C2．过点P（3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A，B两点．求线段AB的长．
C2．解：直线的参数方程为(s为参数)，
曲线(t为参数)化为． ………………… 3分
将直线的参数方程代入上式，得． ………………… 5分
设A，B对应的参数分别为，
则． ………………… 7分
∴AB ………………… 9分
． ………………… 10分
D组（选修4－5：不等式选讲）
D1．求函数的最大值．
D1．解： ………………… 3分
由柯西不等式，得
． ………………… 5分
当且仅当时取等号． ………………… 7分
解得． ………………… 9分
∴取得最大值． ………………… 10分
D2．设x，y，z为正数，证明：．
D2．∵，
∴． ………………… 3分
同理，， ………………… 5分
三式相加即可得． ……………… 7分
∵，…………… 9分
∴ ． ……………… 10分
（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）数学Ⅱ（理科附加题）参考答案
已知三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BF||AC,CF交AD于P,交AB于E,求证：BP?=PE×PF
A1 证明：如图，连结，
∵AB = AC，AD是BC边的中线，
∴是此等腰三角形的一条对称轴．
∴． ………… 2分
∵BF∥AC，F = ACP．
∴F = ABP． ………… 5分
又，
∴∽． ………… 8分
所以，即．
∵BP = CP，∴CP2 = PE·PF． ……… 10分
已知,直线AF切三角形ABC外接圆O于点A,交三角形ABC的高CE的延长线于点F,BD垂直AC.求证：（1）（2）
A2 证明：（1）连结．
∵AF为切线，∴FAB = ACB．………… 2分
∵，，
∴．
∴． ………… 5分
（2）∵，，
∴四点共圆．则．
又，∴．
则DE∥AF． ……………8分
∴，即． ……… 10分
已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线2x﹣y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
B1 解：由题设得． ………… 2分
设直线上任意一点在矩阵对应的变换作用下变为，
则 ． ………… 5分
即，∴ ………… 8分
∵点在直线上，∴，即．
∴曲线的方程为． ………… 10分
矩阵M=（1）a=1，b=2，（2）M 10α
已知点A（1，1）在矩阵M=（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（2，2）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）M10．
B2 解：（1）由题意得． ………… 2分
即，∴
则． ………… 5分
（2）由（1）得矩阵M ，
矩阵M的特征多项式为，
矩阵M的另一个特征值是1．
代入二元一次方程组，解得，
于是M的属于特征值1的一个特征向量为． ………… 8分
∴α =．
∴M 10α = M 10．………… 10分
已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0，直线l的直角坐标方程为x-y-4=0极坐标方程是ρ=2，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系?，求过点c且与l垂直的直线的极坐标方程
C1解：圆的直角坐标方程为，即． ………… 2分
圆心，直线的直角坐标方程为x-y-4=0． ………… 5分
所以过点与直线垂直的直线的方程为． ………… 8分
化为极坐标方程得，即．………… 10分
C2 解：（1）直线的普通方程，
椭圆的普通方程为； …………………… 2分
（2）设椭圆上一点的坐标为，
∵m ? 2，∴点到直线的距离
．
∴． …………………… 5分
∵椭圆上有且只有1个点到直线的距离为2，
∴关于的方程在上有且只有一个解．
∴或． …………………… 8分
若，满足，此时，点的坐标是；
若，不合题意．
综上，实数的值为，该点的坐标为．……………10分
D1证明：（1）当时，因为，，
即n = 2时不等式成立； ……… 2分
（2）假设n = k（）时不等式成立，即有，
则当时， ……… 5分
． ……… 8分
即当时，不等式也成立．
综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分
D2（1）证明：由柯西不等式得
………… 2分
．
∵，∴． …………………… 5分
（2）解：由（1）得．
当m≥2时，m m 2≤36，∴m≤19；
当时，m 2 m≤36，恒成立；
当m≤0时， m 2 m≤36，∴m≥17． …………………… 8分
综上，实数的取值范围是[17，19]． …………………… 10分
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）
（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）数学II（附加题）
请从以下4 组题中选做2 组题作答，如果多做，则按作答的前两组题评分．每小题10 分，共40 分．
A 组［选修4 – 1：几何证明选讲］
A1. 如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB的平分线，△ACD 的外接圆交
BC于点E，AB = 2AC．
(1) 求证：BE = 2AD；
(2) 当AC = 1，EC = 2 时，求AD的长．
试题解析：（Ⅰ）连接,因为是圆的内接四边形，所以，又，所以，即有，又，所以，又是的平分线，
所以，从而.
（Ⅱ）由条件的设，根据割线定理得,即，所以即
解得，或（舍去），即
A2. 如图，AB为⊙ O的直径，直线CD 与⊙O相切于点E，AD垂直CD于点D，BC 垂直CD 于点C，EF 垂直AB于点F ，连结AE, BE．
(1) 求证：∠FEB = ∠CEB；
(2) 求证：EF 2 = AD?BC．
(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.
由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.
类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
B 组［选修4 – 2：矩阵与变换］
B1. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线．
(1) 求实数a, b的值；
(2) 若点在直线???? 上，且满足，求点P的坐标．
(1)设直线l：ax＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)，
由＝＝，得，又点M′(x′，y′)在l′上，
所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1.依题意解得
(2)A＝，得解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1，
故点P的坐标为(1，0)．
B2. 已知矩阵
(1) 求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
(2) 求
C 组［选修4 – 4：坐标系与参数方程］
C1. 在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知射线：
（t 为参数）相交于A, B 两点．
(1) 写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2) 求线段AB 中点的极坐标．
解：（1）∵射线l：θ=，
∴其直角坐标方程为y=x（x≥0），则射线l的参数方程为，
由曲线C：，消掉t得：y=（x-2）2；
（2）由，得，．
令A（1，1），B（4，4）．
则线段AB中点的直角坐标为（），极坐标为（）．
C2. 在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，???? 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为(直线l的极坐标方程为且点A在直线l上．
(1) 求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2) 若圆C的参数方程为为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．
(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.
D 组［选修4 – 5：不等式选讲］
D1. 已知函数
(1) 解关于x 的不等式；
(2) 设，若关于x 的不等式的解集不是空集，求实数m的取值范围．
D2. (1) 已知a, b, c 均为正实数，且
(2) 已知a > b > c，且a + b + c = 0，求证：．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：AB2=AD?AE．
证明：（1）∵圆O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠ABC=∠DEC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB=∠EDF，
∴∠DEC=∠EDF，
∴DE平分∠CDF．
（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABD∽△ABE，
∴，
∴AB2=AD?AE．
22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB?AC=AD?AE；
（2）求证：DG=DH．
证明：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥CE，
∵AD是△ABC的两条高，∴AD⊥BC，
∵∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴，
∴AB?AC=AD?AE；
（2）连接BG，
∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．
B组[选修4-2：矩阵与变换]
23．已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，
所以；
（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，
故．
24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．
解：（1）由=，
得a+1=﹣3
∴a=﹣4
（2）由（1）知，
则矩阵A的特征多项式为
令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3
当λ=﹣1时二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为
当λ=3时，二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．
C组[选修4-4：坐标系与参数方程]
C组[选修4-4：坐标系与参数方程]
25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；
（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）将极坐标方程展开，两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C1的直角坐标方程，根据同角三角函数的关系消元得出C2的普通方程；
（2）求出直线l的普通方程，根据点到直线的距离公式得出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角恒等变换得出d的最大值．
【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），
∴ρ=8sinθ﹣8cosθ，∴ρ2=8ρsinθ﹣8ρcosθ，
∴曲线C1的极坐标方程为x2+y2﹣8y+8x=0，即（x+4）2+（y﹣4）2=32．
∵曲线C2的参数方程为，（θ为参数）
∴曲线C2的普通方程为．
（2）直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0．
∴P（8cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==．
∴当cos（θ+φ）=﹣1时，d取得最大值=．
∴P到直线l的最大距离为．
26．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|?|OB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|?|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，
解得t1=0，t2=2cosα．
∴|OA|=|t2|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，
解得t1=0，t2=．
∴|OB|=|t2|=．
∴|OA|?|OB|=2cosα?=2tanα=2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|?|OB|的取值范围是（2，2]．
D组[选修4-5：不等式选讲]
27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，由此求得不等式的解集．
（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，解得x﹣1≥或x﹣1≤﹣，∴x≥或x≤﹣
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． …
（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．
解得a≥2，或a≤0． 又∵a＞0，∴a≥2．
∴实数a的取值范围为[2，+∞）． …
28．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）+≥；
（2）++≥++．
【考点】不等式的证明．
【分析】（1）运用两个正数的均值不等式，可得a+b≥2， +≥2，相乘即可得证；
（2）由（1）可得+≥；同理可得+≥； +≥．三式相加，整理即可得证．
【解答】证明：（1）a，b均为正实数，
可得a+b≥2，
+≥2，
相乘可得（a+b）（+）≥2?2=4，
当且仅当a=b，取得等号．
则+≥；
（2）由（1）可得+≥；
同理，由b，c为正实数，可得+≥；
由c，a为正实数，可得+≥．
相加可得，2（++）≥++，
即有++≥++．
（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）
A组（选修4-2矩阵与变换）
A1、已知矩阵A=，B=
（1）求矩阵A的逆矩阵
（2）若矩阵X满足AX=B，试求曲线y=x2在矩阵X对应的变换作用下得到的曲线方程
A2、已知二阶矩阵M=，α=
(1)求矩阵M的特征值域特征向量
(2)求M5α
B组(选修4-4：坐标系与参数方程）
B1、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，(θ为参数)
（1）写出曲线C的直角坐标系方程
（2）若直线l经过点A(0，)，倾斜角为45°，且与曲线C交于两M，N点，求MN的长.
B2、在平面直角坐标系xOy中，直线AB的参数方程为，(t为参数)，以原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=
2sin(θ+)(ρ≥0)
(1)求曲线C的参数方程
(2)设点M为曲线C上的动点，求点M与直线AB距离d的最小值.
11
（苏州市2008-2009高二 理（下）期末）请从以下4组题中选做2组（每组两题，共4题），如果选做超过2组，则按所做的前两组记分（每小题10分，共40分）
A 组 （选秀4-1：几何证明选讲）
A1. 如图，圆的直径,CD是圆的弦，BA,DC的延长线交于点P，若,求
A2. 如图，在中，AB=AC，延长BC到D,使,交AD于E,连结BE,交AC于点F，求证：AF=FC
B 组 （选秀4-2：矩阵与变换）
B1. 已知,设，解方程
B2. 已知矩阵，若点在矩阵A的变换下得到点
求实数的值
求矩阵A的特征值及特征向量
C 组 （选秀4-4：坐标系与参数方程）
C1. 自极点作射线与直线相交于点，在上取一点,使得，求点的轨迹的极坐标方程
C2. 过点作倾斜角为的直线与曲线相交与两点
写出直线的参数方程；
求的最小值。
D 组 （选秀4-5：不等式选讲）
D1. 已知是正数，求证：，并指出等号成立的条件
D2. 设实数满足，试求的最小值
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）
A组（选修4-1：几何证明选讲）
????A1.如图，在RtΔABC中，∠C是直角，AC=3,BC=4,CD⊥AB于点D，∠A的平分线交CD于点M，交BC于点E,求4，求：
（1）CD的长；
????（2）AE的长.
????
解：（1）∵∠C是直角AC=3，BC=4，∴AB=5
由AB×CD=AC×BC得，CD===
（2）由AE是∠A的平分线交CD于点M，交BC于点E，
∴＝＝
故CE=BC=
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE=
A2.如图.过⊙O的弧AB的中点C作弦CD，CE分别与AB相交于点F、G.
????求证：CD·CF=CE·CG
证明：连接AD，DE，EB，
由A，D，E，B四点共圆，得∠ADE+∠B=180°
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE
∴∠ADC+∠CDE+∠B=180°①
∵点C是弧AB的中点，
∴∠ADC=∠BEC ②
由①②，得∴∠BEC+∠CDE+∠B=180°，即（∠BEC+∠B）+∠CDE=180°，
∴∠EGA+∠CDE=180°，则四边形DFEG内接于圆
∵直线CFD，CGE是该圆的两条割线
∴CD×CF=CG×CE
B组（选修4-2：矩阵与变换）
????
B1.已知直线L:4x-2y+5=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，矩阵M=所对应的变换为TM（a，bR）
（1） 求点A,B在TM作用下所得到的点A’,B’的坐标；
（2） 若变换TM把直线l变换为自身，求M.
解：（1）A（0，），B（-，0），设A′（m，n ），B′（m′，n′）
则==
==
∴A′（，），B′（，）．
（2）在直线l上任取一点P（x，y），设点P在TM的变换下变为点P′（x′，y′），
则=，，所以点P′（3x+ay，bx-y），
∵点P′在直线l上，∴4（3x+ay）-2（bx-y）+5=0，即（12-2b）x+（4a+2）y+5=0，
∵方程（12-2b）x+（4a+2）y+5=0即为直线l的方程4x-2y+5=0，
∴，解得?
∴M=．
B2.已知矩阵,向量a=.
（1） 求A的特征值λ1,,λ2和特征向量a1，a2,；
（2）计算A5a .
解：（1）矩阵A的特征多项式为=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得，当λ2=3时，得．（7分）
（2）由得，得m=3，n=1．
∴==．
C组（选修4-4：坐标系与参数方程）
C1.已知直线l极坐标方程ρ-ρ+3=0,圆M的极坐标方程ρ=4.以极点为原点，极轴为x轴建立直角坐标系.
（1） 写出直线L与圆M的直角标方程；
（2） 设直线l与圆M交于A、B两点，求AB的长.
（1）∵直线l极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+3=0，∴直角坐标方程为 x-y+3=0．
∵圆M的极坐标方程为ρ=4sinθ，故其直角坐标方程为? x2+（y-2）2=4．
（2）圆M的圆心为（0，2），半径等于2，圆心到直线的距离 d==，
∴AB=2=．
C2.已知曲线E的参数方程为（θ为参数，θR）直线l的参数方程为（t为参数，tR）
(1) 求曲线E和直线l的普通方程.
(2) 若点P,Q分别为曲线E,直线l上的动点，求线段PQ长的最小值。
解：（1）曲线E的普通方程为??，直线l的普通方程为 3x+4y-18=0．
（2）设点P（4cosθ，3sinθ），线段PQ≥=≥
，故当PQ与直线l垂直，且 θ=2kπ+，k∈z 时，线段PQ取最小值为?．
D组（选修4-5：不等式选讲）
D1.设ΔABC的三条边为a，b，c，求证：ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2?+c2≥2ac，相加可得 2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
又因为△ABC的三条边为a，b，c，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a2?-ab-ac=a（a-b-c）＜0，a2＜ab+ac，同理可得，b2?-＜ba+bc，c2?＜ca+cb，
相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．
综上可得 ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）成立．
分析：由基本不等式可证 a2+b2+c2≥ab+bc+ca，根据a2?-ab-ac=a（a-b-c）＜0，可得 a2＜ab+ac，同理可得b2?-＜ba+bc，c2?＜ca+cb，相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca），从而证得命题．
点评：本题考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，以及三角形任意两边之和大于第三边，证明a2＜ab+ac，是解题的关键．
D2.已知nN*,求证：
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）A组（选修4－1：几何证明选讲）
A1．如图，矩形 ABCD中，AB﹦a，BC﹦b，M为BC的中点，DE⊥AM，垂足
为E，求证： DE=
A2.如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.
解：如图，因为AE是圆的切线
所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，?
EA2= EC·EB
而EA=ED
所以ED2=EC·EB。
B组（选修4－2：矩阵与变换）
B1．设可逆矩阵 A=的逆矩阵A-1=，求实数 a，b的值．
B2．已知点P（1，1）在矩阵A=(a∈R)对应的变换作用下得到点P'(0,-3)．
（1）求实数 a的值；
（2）求矩阵 A的特征值及特征向量．
C组(选修4-4:坐标系与参数方程)
C1.在极坐标系中,设圆ρ=3上的点到直线ρ(+)=2,的距离为d,求d的最大值.
C2.矩形ABCD的顶点C的坐标为(4,2),顶点A在椭圆上运动,且AB,AD分别平行于x,y轴,求矩形ABCD面积的取值范围.
D组(选修4-5:不等式选讲)
D1.设x+y+z=1,求M=x2+3y2+z2的最小值.
D2.已知关于x的不等式|x-1|+|x+1|≤++对任意正实数a,b,c恒成立,
求实数x的取值范围.
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）A组（选修4－1：几何证明选讲）
A1．在以AB为直径的半圆上有两点M，N，设弦AN与BM交于点P．
求证：．
A1．证明：作于，
为直径，
． ……………… 3分
四点共圆，四点共圆．
……………… 5分
∴，①
∴．② ……………… 7 分
① ②，得．……… 9分
即． ………………………… 10分
A2．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AC =AB，
求证：BN = 2AM．
A2．证明：如图，在△ABC中，
∵CM是∠ACM的平分线，
∴． ………………… 3分
∵， ∴．① ………………… 5分
又∵BA与BC是圆O的两条割线，
∴，即．② ……………… 7分
由①，②可知，． ……………… 9分
∴BN = 2AM． ……………… 10分
B组（选修4－2：矩阵与变换）
B1．已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中，， ，，，．
（1）求出矩阵；（2）确定点及点的坐标．
B1．解：（1）设，
则． …………………… 3分
∴ 解得，．……… 5分
（2）由，得． …………………… 7分
设D（x，y），由，得 ………………… 9分
解得x 1，y 1，∴ ． ………………… 10分
B2．给定矩阵=，= 及向量e1 ，e2 ．
(1)证明M和N互为逆矩阵；
(2)证明e1和e2都是的特征向量．
B2．解：（1）∵MN = = ， …………………… 2分
NM = = ，
∴M和N互为逆矩阵． ……………………… 5分
（2）∵ ==． ……………………… 7分
=． ……………………… 9分
∴e1和e2是M的特征向量． ……………………… 10分
C组（选修4－4：坐标系与参数方程）
C1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，设曲线C与x轴及y轴的交点分别为M，N．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M， N的极坐标；
（2）设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
C1．解：（1）由，得，
∴曲线C的直角坐标方程为，即．……………… 3分
当时，，∴M的极坐标为（2，0）；
当时，，∴N的极坐标为． ……………… 5分
（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为，
∴P的直角坐标为． ………………… 7分
则P的极坐标为． ………………… 9分
∴直线OP的极坐标方程为． ………………… 10分
C2．过点P（3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A，B两点．求线段AB的长．
C2．解：直线的参数方程为(s为参数)，
曲线(t为参数)化为． ………………… 3分
将直线的参数方程代入上式，得． ………………… 5分
设A，B对应的参数分别为，
则． ………………… 7分
∴AB ………………… 9分
． ………………… 10分
D组（选修4－5：不等式选讲）
D1．求函数的最大值．
D1．解： ………………… 3分
由柯西不等式，得
． ………………… 5分
当且仅当时取等号． ………………… 7分
解得． ………………… 9分
∴取得最大值． ………………… 10分
D2．设x，y，z为正数，证明：．
D2．∵，
∴． ………………… 3分
同理，， ………………… 5分
三式相加即可得． ……………… 7分
∵，…………… 9分
∴ ． ……………… 10分
（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）数学Ⅱ（理科附加题）参考答案
已知三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BF||AC,CF交AD于P,交AB于E,求证：BP?=PE×PF
A1 证明：如图，连结，
∵AB = AC，AD是BC边的中线，
∴是此等腰三角形的一条对称轴．
∴． ………… 2分
∵BF∥AC，F = ACP．
∴F = ABP． ………… 5分
又，
∴∽． ………… 8分
所以，即．
∵BP = CP，∴CP2 = PE·PF． ……… 10分
已知,直线AF切三角形ABC外接圆O于点A,交三角形ABC的高CE的延长线于点F,BD垂直AC.求证：（1）（2）
A2 证明：（1）连结．
∵AF为切线，∴FAB = ACB．………… 2分
∵，，
∴．
∴． ………… 5分
（2）∵，，
∴四点共圆．则．
又，∴．
则DE∥AF． ……………8分
∴，即． ……… 10分
已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线2x﹣y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
B1 解：由题设得． ………… 2分
设直线上任意一点在矩阵对应的变换作用下变为，
则 ． ………… 5分
即，∴ ………… 8分
∵点在直线上，∴，即．
∴曲线的方程为． ………… 10分
矩阵M=（1）a=1，b=2，（2）M 10α
已知点A（1，1）在矩阵M=（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（2，2）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）M10．
B2 解：（1）由题意得． ………… 2分
即，∴
则． ………… 5分
（2）由（1）得矩阵M ，
矩阵M的特征多项式为，
矩阵M的另一个特征值是1．
代入二元一次方程组，解得，
于是M的属于特征值1的一个特征向量为． ………… 8分
∴α =．
∴M 10α = M 10．………… 10分
已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0，直线l的直角坐标方程为x-y-4=0极坐标方程是ρ=2，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系?，求过点c且与l垂直的直线的极坐标方程
C1解：圆的直角坐标方程为，即． ………… 2分
圆心，直线的直角坐标方程为x-y-4=0． ………… 5分
所以过点与直线垂直的直线的方程为． ………… 8分
化为极坐标方程得，即．………… 10分
C2 解：（1）直线的普通方程，
椭圆的普通方程为； …………………… 2分
（2）设椭圆上一点的坐标为，
∵m ? 2，∴点到直线的距离
．
∴． …………………… 5分
∵椭圆上有且只有1个点到直线的距离为2，
∴关于的方程在上有且只有一个解．
∴或． …………………… 8分
若，满足，此时，点的坐标是；
若，不合题意．
综上，实数的值为，该点的坐标为．……………10分
D1证明：（1）当时，因为，，
即n = 2时不等式成立； ……… 2分
（2）假设n = k（）时不等式成立，即有，
则当时， ……… 5分
． ……… 8分
即当时，不等式也成立．
综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分
D2（1）证明：由柯西不等式得
………… 2分
．
∵，∴． …………………… 5分
（2）解：由（1）得．
当m≥2时，m m 2≤36，∴m≤19；
当时，m 2 m≤36，恒成立；
当m≤0时， m 2 m≤36，∴m≥17． …………………… 8分
综上，实数的取值范围是[17，19]． …………………… 10分
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）
（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）数学II（附加题）
请从以下4 组题中选做2 组题作答，如果多做，则按作答的前两组题评分．每小题10 分，共40 分．
A 组［选修4 – 1：几何证明选讲］
A1. 如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB的平分线，△ACD 的外接圆交
BC于点E，AB = 2AC．
(1) 求证：BE = 2AD；
(2) 当AC = 1，EC = 2 时，求AD的长．
试题解析：（Ⅰ）连接,因为是圆的内接四边形，所以，又，所以，即有，又，所以，又是的平分线，
所以，从而.
（Ⅱ）由条件的设，根据割线定理得,即，所以即
解得，或（舍去），即
A2. 如图，AB为⊙ O的直径，直线CD 与⊙O相切于点E，AD垂直CD于点D，BC 垂直CD 于点C，EF 垂直AB于点F ，连结AE, BE．
(1) 求证：∠FEB = ∠CEB；
(2) 求证：EF 2 = AD?BC．
(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.
由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.
类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
B 组［选修4 – 2：矩阵与变换］
B1. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线．
(1) 求实数a, b的值；
(2) 若点在直线???? 上，且满足，求点P的坐标．
(1)设直线l：ax＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)，
由＝＝，得，又点M′(x′，y′)在l′上，
所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1.依题意解得
(2)A＝，得解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1，
故点P的坐标为(1，0)．
B2. 已知矩阵
(1) 求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
(2) 求
C 组［选修4 – 4：坐标系与参数方程］
C1. 在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知射线：
（t 为参数）相交于A, B 两点．
(1) 写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2) 求线段AB 中点的极坐标．
解：（1）∵射线l：θ=，
∴其直角坐标方程为y=x（x≥0），则射线l的参数方程为，
由曲线C：，消掉t得：y=（x-2）2；
（2）由，得，．
令A（1，1），B（4，4）．
则线段AB中点的直角坐标为（），极坐标为（）．
C2. 在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，???? 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为(直线l的极坐标方程为且点A在直线l上．
(1) 求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2) 若圆C的参数方程为为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．
(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.
D 组［选修4 – 5：不等式选讲］
D1. 已知函数
(1) 解关于x 的不等式；
(2) 设，若关于x 的不等式的解集不是空集，求实数m的取值范围．
D2. (1) 已知a, b, c 均为正实数，且
(2) 已知a > b > c，且a + b + c = 0，求证：．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：AB2=AD?AE．
证明：（1）∵圆O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠ABC=∠DEC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB=∠EDF，
∴∠DEC=∠EDF，
∴DE平分∠CDF．
（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABD∽△ABE，
∴，
∴AB2=AD?AE．
22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB?AC=AD?AE；
（2）求证：DG=DH．
证明：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥CE，
∵AD是△ABC的两条高，∴AD⊥BC，
∵∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴，
∴AB?AC=AD?AE；
（2）连接BG，
∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．
B组[选修4-2：矩阵与变换]
23．已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，
所以；
（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，
故．
24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．
解：（1）由=，
得a+1=﹣3
∴a=﹣4
（2）由（1）知，
则矩阵A的特征多项式为
令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3
当λ=﹣1时二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为
当λ=3时，二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．
C组[选修4-4：坐标系与参数方程]
C组[选修4-4：坐标系与参数方程]
25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；
（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）将极坐标方程展开，两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C1的直角坐标方程，根据同角三角函数的关系消元得出C2的普通方程；
（2）求出直线l的普通方程，根据点到直线的距离公式得出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角恒等变换得出d的最大值．
【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），
∴ρ=8sinθ﹣8cosθ，∴ρ2=8ρsinθ﹣8ρcosθ，
∴曲线C1的极坐标方程为x2+y2﹣8y+8x=0，即（x+4）2+（y﹣4）2=32．
∵曲线C2的参数方程为，（θ为参数）
∴曲线C2的普通方程为．
（2）直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0．
∴P（8cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==．
∴当cos（θ+φ）=﹣1时，d取得最大值=．
∴P到直线l的最大距离为．
26．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|?|OB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|?|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，
解得t1=0，t2=2cosα．
∴|OA|=|t2|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，
解得t1=0，t2=．
∴|OB|=|t2|=．
∴|OA|?|OB|=2cosα?=2tanα=2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|?|OB|的取值范围是（2，2]．
D组[选修4-5：不等式选讲]
27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，由此求得不等式的解集．
（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，解得x﹣1≥或x﹣1≤﹣，∴x≥或x≤﹣
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． …
（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．
解得a≥2，或a≤0． 又∵a＞0，∴a≥2．
∴实数a的取值范围为[2，+∞）． …
28．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）+≥；
（2）++≥++．
【考点】不等式的证明．
【分析】（1）运用两个正数的均值不等式，可得a+b≥2， +≥2，相乘即可得证；
（2）由（1）可得+≥；同理可得+≥； +≥．三式相加，整理即可得证．
【解答】证明：（1）a，b均为正实数，
可得a+b≥2，
+≥2，
相乘可得（a+b）（+）≥2?2=4，
当且仅当a=b，取得等号．
则+≥；
（2）由（1）可得+≥；
同理，由b，c为正实数，可得+≥；
由c，a为正实数，可得+≥．
相加可得，2（++）≥++，
即有++≥++．
（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）
A组（选修4-2矩阵与变换）
A1、已知矩阵A=，B=
（1）求矩阵A的逆矩阵
（2）若矩阵X满足AX=B，试求曲线y=x2在矩阵X对应的变换作用下得到的曲线方程
A2、已知二阶矩阵M=，α=
(1)求矩阵M的特征值域特征向量
(2)求M5α
B组(选修4-4：坐标系与参数方程）
B1、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，(θ为参数)
（1）写出曲线C的直角坐标系方程
（2）若直线l经过点A(0，)，倾斜角为45°，且与曲线C交于两M，N点，求MN的长.
B2、在平面直角坐标系xOy中，直线AB的参数方程为，(t为参数)，以原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=
2sin(θ+)(ρ≥0)
(1)求曲线C的参数方程
(2)设点M为曲线C上的动点，求点M与直线AB距离d的最小值.
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