江苏省苏州市2008-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）分类汇编：圆锥曲线

圆锥曲线
（苏州市2008-2009高二 理（下）期末）3.准线方程为的抛物线的标准方程为 。
（苏州市2008-2009高二 理（下）期末）20. 已知椭圆的短轴长为4，分别是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆在第一象限内的交点为，的面积为，点是椭圆上的动点
（1）求椭圆的方程;
（2）若为钝角，求点的横坐标的取值范围;
（3）求的最小值。











（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）3.?在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线方程为? .
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）13.?椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P，使得c?·?PF2?＝a?·?PF1则该椭圆离心率的取值范围是??????????.
（苏州市2009-2010高二 理（下）期末）20.?(本小题满分16分)如图，椭圆的左顶点，右焦点分别为A,F,直线l的方程x=9，N为l上位于x轴上方的一点.
?（1）设线段AN与椭圆C交于点M，且点M是线段AN的中点，求证：MA⊥MF；
????(2)过三点A,F, N的圆与y轴交于P,Q两点，求线段PQ的长的取值范围



（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）6.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为．
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）12.已知A，B，F分别是椭圆(a>b>0)的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M．若直线MB∥x轴，则该椭圆的离心率e= ．
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）14.将一块边界为椭圆的铁皮截成一块梯形铁皮．已知椭圆的长轴长为 4，短轴长为2．若以椭圆的短轴为梯形的一条底边，则梯形面积的最大值等于
（苏州市2010-2011高二 理（下）期末）20．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，点B(0,)是椭圆E的上顶点，F1，F2分别是椭圆 E的左，右焦点．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）已知M为椭圆E上的动点，若以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆 E的右准线有公共点，求△ F1MF2面积的最大值；
（3）过点B作直线l1，l2，使l1⊥l2，设直线 l1，l2分别交椭圆 E于点P，Q，连接PQ，求证：直线PQ必经过y轴上的一个定点．




（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）7．若双曲线的右焦点在抛物线的准线上，则实数m的值为 ．
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）13．椭圆E：的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率乘积为定值，则动直线BC恒过定点的坐标为 ．
（苏州市2011-2012高二 理（下）期末）20．（本小题满分16分）椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B．
（1）若Rt△F1F2C的顶点C在椭圆E上的第一象限内，求点C的坐标；
（2）在定直线l：x m（m 2）上任取一点P（P不在轴上），线段PA交椭圆于点Q，若?PBQ始终为钝角，求实数m的取值范围．







（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）2.抛物线y2 = 4x的准线方程为 ．
（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）11.过椭圆的焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若AB =，则双曲线的离心率为 ．
（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）16．（本小题满分14分）已知点M到双曲线的左、右焦点的距离之比为2︰3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m的距离为4，求实数m的值．







（苏州市2012-2013高二 理（下）期末）20．（本小题满分16分）如图，点A（ a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．



















（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）5.在平面直角坐标系xOy中，设点p是抛物线x2=2y上位于第一象限的点，若点p到抛物线准线的距离为1，则点p的坐标为 .
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）12.椭圆c：(a>b>0)，过定点A（1,2），椭圆的中心到准线的距离的最小值 .
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）13.已知A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）||x-a|+|y|≤6}，若A∩B=?，则a的范围为___．
（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）16.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为3x+2y=0，点A为双曲线C的右顶点，圆O的方程为x2+y2=1．
（1）求a的值；
（2）点M为平面内一动点，过M引圆O的切线MN（N为切点），若=，求动点M的轨迹方程．





（苏州市2013-2014高二 理（下）期末）20.（本小题满分16分）已知椭圆(a>b>0)的离心率为，右顶点M的坐标为（2，0），直线l过左焦点F交椭圆于A，B两点，直线MA，MB分别交直线x=-4于C，D两点．
（1）求椭圆方程；
（2）当l⊥x轴时，求证：CF⊥DF；
（3）求证：以线段CD为直径的圆恒过两个定点．




（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）5.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2 = ay 经过点，则点A 到抛物线的焦点的距离为 ．
（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）17.（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限，半径为 的圆C与直线y = x 相切于坐标原点O，椭圆与圆C 的一个交点到椭圆的两焦点的距离之和为10．
(1) 求圆C 的方程；
(2) 若圆C上存在一点Q（异于坐标原点），满足点Q 到椭圆右焦点F的距离等于OF的长，试求出
点Q的坐标．










（苏州市2014-2015高二 理（下）期末）19.（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的左、右顶点分别为是双曲线上不同的两个动点．
(1) 求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2) 过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A, B 两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交
轨迹E于点D，求证：AB? BD．







（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）4．若双曲线(a>0)的离心率为2，则a等于　　．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是　　．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是　　　　　　．
（苏州市2015-2016(2017-2018)高二 理（下）期末）19．如图，已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．





（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线-=1的离心率为.
（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）9.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，则●= .
（苏州市2016-2017高二 理（下）期末）19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，其焦点到相应准线的距离为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；y1

（2）如图所示A，B是椭圆C上两点，且△AOB的面积为，设射线OA，OB的斜率分别为k1，k2
①求k1●k2的值．

②延长OA到P，使得OP=2OA，且PB交椭圆C于Q，求证为定值．
答案：
x2=-y
【答案】
（1）∵2b=4，∴b=2，①
由题意，设A（x，x）（x＞0），则，②
AF1F2的面积为2，∴cx=2③，
由①②③得：a=2，椭圆C的方程为：．
设p（x，y），则 F1（-2，0），F2（2，0），
且∠F1PF2是钝角
?PF12+PF22＜F1F22?（x+2）2+y2+（x-2）2+y2＜32
?x2+y2＜8?-＜x＜．
椭圆与y=x（x＞0）解得A（-，），
自P作椭圆左准线的垂线，垂足为H，∵==，
左准线方程：x=-3，
∴PF1+PA即为：（PH+PA）
当A，P，H三点共线时，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值为|AB|，
因点A到左准线的距离为：+3，
∴PF1+PA的最小值（+3）=6+．
x=
-1e1
由题意得A（-6，0），F（4，0），xN=9∴xM＝
又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM＝
∴MA=（-，-），MF=（，-）
∴MA·MF=-+=0
∴MA⊥MF
（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有

解得?D＝2，E＝?t?，F＝?24
∴圆心为(?1，（t+）)，半径r=25+（t+）2

∴|PQ|＝2=，
∵t＞0∴t+≥2＝10，当且仅当t＝，即t＝5时取“=”
∴|PQ|≥2＝6，
∴|PQ|的取值范围是[6，+∞)

-1



-4
（1，0）
20．解：（1）椭圆E中，a2 4，b2 1，c2 3，
F1（，0），F2（，0），A（2，0），B（2，0），设C（x，y）．
① 若∠F2F1C 90°，则点C不在第一象限内，与条件矛盾，不成立． ……… 1分
② 若∠F1F2C 90°，将x ，代入椭圆E的方程，得y ?．
∵点C在第一象限内，∴C（，）． ………………… 3分
③ 若∠F1CF2 90°，∴OC OF2 ．则x2 + y2 3． ………………… 5分
又，∴x2 ，y2 ．
∵点C在第一象限内，x 0，y 0，
∴，． 即C（，）． ………………… 7分
（2）设，则直线AQ方程为：．
∴． ……………………………… 9分
，．
∵y0≠0时，又为钝角，∴．
∴． ……………………………… 12分
∵2 x0 2，∴．
∵，∴．∴． ……………………… 16分
x=-1．

解：（1）双曲线的左、右焦点为，．………1分
设点，则， 即． ……………3分
化简得点M的轨迹方程为． ……………7分
（2）点M的轨迹方程即为，
它表示以为圆心，12为半径的圆． ……………9分
因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m的距离为4，
所以圆心到直线y = x + m的距离为8，即． ……………12分
解得 ． ……………14分
解：（1）由B（，），C（0，1），得直线BC方程为．………… 2分
令y = 0，得x = 2，∴a = 2． ………… 3分
将B（，）代入椭圆方程，得．∴b2 = 2．
椭圆方程为． ………… 5分
（2）① 当PQ与x轴垂直时，PQ = ； ………… 6分
② 当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y = kx 1（k≥0），
代入椭圆方程x2 2y2 4 = 0，得x2 2(kx 1)2 4 = 0．
即 (2k2 1) x2 4kx 2 = 0． ………… 8分
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 ．
则 | x1 x2 | = ．PQ = ． ………… 10分

=． ………… 12分
∵，在k =时取等号， ………… 14分
∴PQ2 = （8，9]．则PQ． ………… 15分
由①，②得PQ的取值范围是． ………… 16分
（1，）
+2
（-∞，-6）
解：（1）∵双曲线
的渐近线方程为3x±ay=0，
由其中一条渐近线方程为3x+2y=0，
解得a=2．
（2）由（1）知双曲线方程为
∵点A为双曲线C的右顶点，∴A（2，0），
设M（x，y），∵圆O的方程为x2+y2=1，
∴N（cosθ，sinθ），0≤θ＜π，
则（x-cosθ）2+（y-sinθ）2+1=x2+y2，
解得（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=x2+y2-1，
∵=
∴=
∴=，
整理，得：x2+y2-8x+9=0．
∴动点M的轨迹方程为x2+y2-8x+9=0
（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右顶点M的坐标为（2，0），
∴= a=2，解得a=2，c=1，∴b2=4-1=3，
∴椭圆方程为
（2）证明：∵直线l过左焦点F（-1，0）交椭圆于A，B两点，l⊥x轴，
∴直线l的方程为x=-1，
联立，得A（-1，），B（-1，-），
∴直线MA：x+2y-2=0，联立x=-4；x+2y-2=0，得C（-4，3），
从而能证明CF⊥DF．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x=my-1，代入椭圆方程，得（3m2+4）y2-6my-9=0，由此利用已知条件能证明以线段CD为直径的圆过x轴上的两个定点（-1，0）和（-7，0）．


解：（1）设圆C的圆心为A（p，q），则圆C的方程为（x-p）2+（y-q）2=8
∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，?
∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y=x
于是有
由于点A（p，q）在第二象限，故p<0
所以圆C的方程为（x+2）2+（y-2）2=8；
（2）∵椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10
∴2a=10a=5
故椭圆右焦点为F（4，0）
若圆C上存在异于原点的点Q（x0，y0）到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，
则有|QF|=|OF|，于是
由于Q（x0，y0）在圆上，故有
解①和②得?
故圆C上存在满足条件的点。

由A1，A2为双曲线的左右顶点知，A1(- ，0)，A2( ，0)，
则A1P：y= (x+ )，A2Q：y= - (x- )，
两式相乘得y2= (x2-2)，
因为点P（x0，y0）在双曲线上，所以 ，即 =，
所以y2=- (x2-2)，即 x2 2 +y2=1，
故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为 +y2=1．（x≠± ，x≠0）
由（1）知，轨迹E的方程为 +y2=1．（x≠± ，x≠0）
设B（x1，y1）,D(x2,y2),A(-x1,-y1).
因为点B和D都在曲线E上，所以+y12=1,+y22=1
两式相减得+（y1+y2）（y1-y2）=0，
所以KAD·KBD=·=-
又KAD=KAC==KAB
KAB·KBD=-1
所以AB⊥BD

1



20

解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=，可得椭圆标准方程为+=1；
（2）①由题意可得k1k2==﹣，
即为x12x22=16y12y22，
又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，
可得4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
即有x12x22=（6﹣x12）（6﹣x22），化简可得x12+x22=6；
②由题意可得C（x2，﹣y2），
由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
可得y12+y22==，
由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，
由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，
可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），
由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，
则直线AC的斜率为kAC==±=±．

-3