1.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
1　菱形的性质与判定
第1课时　菱形的性质
知 识 点 讲 解
知识点　菱形的定义及其性质
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有特征； 菱形的定义既可以看作菱形的性质，也可以看作菱形的判定.
2．性质：(1)菱形的四条边相等．如图，若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC＝CD＝DA.
(2)菱形的对角线互相垂直．如图，若四边形ABCD是菱形，AC，BD是对角线，则AC⊥BD.
(3)菱形的对称性：①菱形是轴对称图形，共两条对称轴：两条对角线所在的两条直线．②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
经典例题1　菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是多少？
解析：可设较小角为x，因为邻角之和为180°，∴x＋2x＝180°，所以x＝60°，画出其图形，根据勾股定理，可以得到其中较长的对角线的长．
解：∵菱形的周长为20cm，∴菱形的边长为5cm，∵两个相邻内角的度数之比为1∶2，∴较小角为60°，画出图形如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD，交于点O，则∠ABO＝30°，AB＝5cm，∴AO＝cm，∴BO＝＝(cm)，∴BD＝2BO＝5cm.即较长的对角线长度是5cm.
易错易混警示 没有结合具体图形，将不确定的边与确定的边混淆
经典例题2　在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，如果它的一条对角线长为8cm，求菱形ABCD的边长．
解析：菱形ABCD的对角线有两条，即较短的一条和较长的一条，要分两种情况来分析．
解：如图，连接AC，BD交于点O.①当对角线AC＝8cm时，由菱形的性质可知，AB＝BC，∴∠BAC＝∠DAB＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC＝8cm.
②当对角线BD＝8cm时，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC＝180°－∠DAB＝60°，OB＝BD＝×8＝4(cm)，OA＝OC，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝∠ABC＝×60°＝30°，∴OA＝AB.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，即(AB)2＋42＝AB2，∴AB＝cm.
综上可知，菱形ABCD的边长为8cm或cm.
当 堂 检 测
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2. 如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若S菱形ABCD＝24，且AE＝4，则CD等于(　　)
A．12 B．8 C．6 D．2

第2题 第3题
3. 如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是(　　)
A．25 B．20 C．15 D．10
4. 若一个菱形的边长是2，则这个菱形两条对角线长的平方和为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．1
5. 如图所示，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为(　　)
A．5 B．10 C．6 D．8

第5题 第6题
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为 .
7. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为　 　.

第7题 第8题
8. 如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF＝90°，则∠D的度数为 .
9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. B 4. A 5. A
6. 24
7. (2＋，)
8. 60°
9. 解：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，又∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD＝60°.