1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
1　菱形的性质与判定
第2课时　菱形的判定
知 识 点 讲 解
知识点　菱形的判定
1. 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
2. 判定定理
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
定理2：四边相等的四边形是菱形．
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，则四边形ABCD是菱形．
经典例题　如图所示，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.
求证：四边形AEDF是菱形．
解析：设AD与EF交于点O，由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°.证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF.
证明： 设AD与EF交于点O，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，由题意知EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°.∵在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA)，∴EO＝FO.又将△ABC折叠，点A与点D重合，∴AO＝DO，∴EF，AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形．又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．
点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
当 堂 检 测
1. 下列命题中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3. 如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形(　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

第3题 第4题
4. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)
A．AD＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
5. 如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数是(　　)
A．100° B．105° C．110° D．120°

第5题 第6题
6. 如图，在?ABCD中，因为∠1＝∠2，所以BC＝DC，所以四边形ABCD是菱形，做出上述判断的依据是 ．
7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　 　.

第7题 第8题
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　 　时，平行四边形CDEB为菱形．
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.
求证：四边形CFHE是菱形．

当堂检测参考答案
1. D 2. B 3. B 4. B 5. A
8. 
9. 证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH.而∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CEA＋∠CAE＝∠AFD＋∠EAH＝90°.∴∠CEA＝∠AFD．又∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE.又∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，EH⊥AB，∴CE＝EH.∴CF＝EH.∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH.∴四边形CFHE是平行四边形．又∵CF＝CE，∴?CFHE是菱形．