1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
2　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
知 识 点 讲 解
知识点一　矩形的定义及其性质
1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有特征；矩形的定义既可以看作矩形的性质，也可以看作矩形的判定.
2. 性质
(1)矩形的四个角都是直角．
如图，如果四边形ABCD是矩形，那么 ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
(2)矩形的对角线相等．
用数学符号语言表示：如图，如果四边形ABCD是矩形，那么AC＝BD.
(3)矩形的对称性．
①矩形是轴对称图形，共两条对称轴．对称轴是过每一组对边中点的两条直线．
②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
经典例题1　如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝6.
求：(1)BC的长；(2)矩形ABCD的面积．
解析：由∠BOC＝120°，可判定△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝6.再根据勾股定理可以求出BC的长，从而求出矩形的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OB.又∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝2×6＝12.又∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝＝6.　
(2)S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36.
知识点二　直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，则AD＝BC.
经典例题2　如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．
解析：根据题意可知OM是△ADC的中线，所以OM＝CD＝AB＝2.5.根据勾股定理可得AC＝＝13，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO＝AC＝6.5，所以四边形ABOM的周长为AB＋AM＋BO＋OM＝5＋6＋6.5＋2.5＝20.
答案：20
当 堂 检 测
1. 下列说法不正确的是(　　)
A．矩形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．矩形的对角线互相垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(　　)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD

第2题 第3题
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为(　　)
A．4　　　 B．8　　　 C．10　　　 D．12
4. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是(　　)
A．26 B．13 C．8.5 D．6.5
5. 一个矩形的对角线的长等于长边的一半与短边的和，则短边与长边的比为(　　)
A．2∶3 B．3∶4 C．3∶5 D．4∶5
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　 　.

第6题 第7题
7. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC＝8，CD＝6，则CF＝　 　.
8. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为　 　.
9. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＋AC＝9，求对角线BD的长及矩形ABCD的面积．

当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. B 4. D 5. B
6. 3
7. 
8.