1.2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
2　矩形的性质与判定
第2课时　矩形的判定
知 识 点 讲 解
知识点　矩形的判定
1. 定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
2. 判定定理
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
定理2：有三个角是直角的四边形的矩形．
如图，在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
下面两条也可作为判定矩形的方法：
1. 四个角相等的四边形是矩形；?
2. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
拓展：判定一个四边形是矩形的常用思路：(1)平行四边形＋一个直角＝矩形；(2)四边形＋三个直角＝矩形；(3)平行四边形＋对角线相等＝矩形；(4)四边形＋对角线相等且互相平分＝矩形．
经典例题　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.连接AP，BE交于点H，连接DP，CE交于点F.
求证：四边形EFPH为矩形．
解析：证出四边形APCE及四边形DEBP是平行四边形，推出HP∥EF，HE∥FP，证出∠BEC＝90°，根据矩形的判定即可得证．
证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP，四边形DEBP是平行四边形，∴∠EDP＝∠EBC.又∠ADP＝∠DPC，∴∠EBC＝∠DPC，∴BE∥PF.即HE∥PF.又AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．在矩形ABCD中，∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2.在Rt△CDE中，DE＝1，CD＝2，∴CE＝，在Rt△ABE中，AB＝2，AE＝4.∴BE＝2，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°.∴四边形EFPH是矩形．
当 堂 检 测
1. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(　　)
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角
3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接DB，EC，EB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　)
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE

第3题 第4题
4. 如图是一个平行四边形活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α是 度时，两条对角线长度相等．
5. 在四边形ABCD中，如果AB＝DC，AB∥DC，∠A＝90°，那么四边形ABCD是 ，理由是 ．
6. 如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线，则四边形PMQN是 ．

第6题 第7题
7. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，试添加一个条件： ，使四边形ABCD为矩形．
8. 如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，交AD于点E，交BC于点F，且AF⊥BC．求证：四边形AFCE是矩形．

当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. B
4. 90
7. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90°(答案不唯一)
8. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴四边形AFCE是矩形．