1.2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质和判定的综合应用(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
2　矩形的性质与判定
第3课时　矩形的性质和判定的综合应用
知 识 点 讲 解
知识点　矩形的性质和判定的综合应用
经典例题　如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D是BC边上的任意一点，且DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点E，F，H，求证：DE＋DF＝CH.
解析：构造矩形DGHE得到DE＝GH，通过证明△DGC≌△CFD，得到CG＝DF，使问题转化为证明GH＋CG＝CH.
证明：如题图，过点D作DG⊥CH，垂足为点G.∵DE⊥AB，CH⊥AB，∴∠BHC＝∠AED＝∠DGH＝90°，∴四边形DGHE是矩形．∴DE＝GH，DG∥AB，∴∠B＝∠GDC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠GDC＝∠ACB.又∵∠DGC＝∠CFD＝90°，DC＝CD，∴△DGC≌△CFD(AAS)，∴CG＝DF.∵GH＋CG＝CH，∴DE＋DF＝CH.
点拨：证明线段的和差问题时，常通过截取线段使较长的线段分成两部分，再利用三角形全等来证明.
当 堂 检 测
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于(　　)
A．10° B．20° C．30° D．70°

第1题 第2题
2. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，DN.若四边形MBND是菱形，则等于(　　)
A． B． C． D．
3. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是(　　)
A．12　　 B．24　　 C．12　 D．16

第3题 第4题
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB.过点C作CE⊥BD于点E，延长AF，EC交于点H，则下列结论：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．其中，正确的是(　　)
A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
5. 已知矩形的周长为72cm，一边中点与对边的两个端点连线的夹角为直角，则矩形的长边长为
cm，短边长为 cm.
6. 如图，两个相同的矩形摆成“L”字形，则∠CFA＝ .

第6题 第7题
7. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC＝8，CD＝6，则CF＝　 　.
8. 在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE.连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. D 4. D
5. 24 12
6. 45°
7.