1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
3　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
知 识 点 讲 解
知识点　正方形的定义与性质
1. 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2. 性质：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质．
(1)正方形的四个角都是直角，四条边相等；
(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分；
(3)正方形的对称性：①正方形是轴对称图形，共四条对称轴，分别为两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的两条直线．②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
经典例题　如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
解析：(1)根据正方形的性质得出CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，根据“SAS”即可证出结论；(2)根据对顶角相等求出∠AEF的度数，根据正方形的性质求出∠DAC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，又∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.　
(2)解：∵∠DEB＝140°，△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°.在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°.
当 堂 检 测
1. 下列结论：①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形具有四边形的一切性质．其中正确的结论有(　　)
A．1个　 　 B．2个　 　 C．3个　 　 D．4个
2. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF.将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是(　　)
A．45° B．120° C．60° D．90°

第2题 第3题
3. 如图，P是正方形 ABCD内一点，且BP＝3，将△ABP绕B顺时针方向旋转90°后能与△CBQ重合，则PQ的长为(　　)
A．3 B．3 C．3 D．3.5
4. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中错误的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　
第4题 第5题
5. 如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是(　　)
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
6. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于 度．

第6题 第7题
7. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是　 　.
8. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为 .
9. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．
(1)求证：AE＝BF；
(2)若BC＝cm，求正方形DEFG的边长．
当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. B 4. A 5. D
6. 65
7. (2＋，1)
8. 5
(2)∵∠DEA＝90°，∠A＝45°，∴∠ADE＝45°，∴AE＝DE.同理BF＝GF.∵GF＝EF＝DE，∴BF＝EF＝AE.又∵AB＝，BC＝cm，AC＝BC，∴AB＝2cm，∴EF＝AB＝cm，∴正方形DEFG的边长为cm.