1.3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定(知识点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第一章　特殊平行四边形
3　正方形的性质与判定
第2课时　正方形的判定
知 识 点 讲 解
知识点　正方形的判定
1. 定义法
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
2. 判定定理
定理1：对角线相等的菱形是正方形．
如图1，∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．
定理2：对角线垂直的矩形是正方形．
如图2，∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形．
如图3，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
经典例题　如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.
(1)求证：BF＝DE；
(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠EAD，又∵AF＝AE，∴△ADE≌△ABF，∴BF＝DE.　
(2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC，又∵AE＝EC，∴BE⊥AC，BE＝AE＝AC，∵AF＝AE，∴BE＝AF＝AE，又∵BE⊥AC，AF⊥AC，∴∠FAE＝∠BEC＝90°，∴BE∥AF，又∵BE＝AF，∴四边形AFBE是平行四边形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴四边形AFBE是正方形．
当 堂 检 测
1. 下列命题中，真命题是(　　)
A．菱形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2. 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是(　　)
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
3. 一个平行四边形绕着对角线的交点旋转90°，能够与本身重合，则该平行四边形为(　　)
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
4. 在同一平面内，以线段AB的端点为顶点作位置不同的正方形，一共可以作(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 下列说法中正确的是(　　)
A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
6. 小明和小亮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件使得四边形ABCD是正方形．小明补充的条件是：AB＝BC且AC＝BD；小亮补充的条件是：AC＝BD且∠A＝90°.你认为
补充的条件正确．
7. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 .

第7题 第8题
8. 如图是一张矩形纸片ABCD，若将纸片沿DE折叠，使AD落在DC上，点A的对应点是F，则四边形ADFE的形状是 ，依据是 ．
9. 如图，已知?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD．
求证：四边形ABCD是正方形．

当堂检测参考答案
1. D 2. A 3. C 4. C 5. C
6. 小明
9. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC．∴平行四边形ABCD是菱形．∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，∴∠AEO＝∠AEC＝30°.∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．