北师大版数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 折叠问题
知识点简介：1. 矩形的性质；2. 翻折的性质；3. 勾股定理在矩形中的应用．
经典例题1 (1)如图1，把一矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数；
图1 图2
(2)如图2，把一矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′的位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度．
解析：(1)由AD∥BC可得∠1＋∠2＝180°，再利用角的翻折对称求解；(2)计算BE的长度，可设DE＝xcm，利用勾股定理在直角三角形中求解未知量即可．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AD ∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∠1＋∠2＝180°，已知∠EFG＝55°，由对称性可知∠GEF＝∠DEF＝55°，∴∠1＝180°－∠GEF－∠DEF＝70°，∴∠2＝180°－∠1＝110°. (2)设DE＝xcm，则BE＝DE＝xcm.∵AD＝12cm，∴AE＝(12－x)cm，在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2，即x2＝42＋(12－x)2，解得x＝，∴BE的长为cm.
类型二 动点问题
知识点简介：1. 正方形的性质与判定；2. 正方形与三角形的综合．
经典例题2 如图，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．正方形ABCD的面积为a2.
(1)试判断四边形PQEF的形状，并说明理由．
(2)PE是否总过某一定点？并说明理由．
(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？
解：(1)四边形PQEF为正方形．理由如下：在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，AP＝BQ＝CE＝DF，∴BP＝QC＝ED＝FA.又∵∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∠APF＝∠BQP，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°.∴四边形PQEF为正方形．
(2)PE总过AC的中点．理由如下：连接AC交PE于点O，连接AE，PC.∵APCE，∴四边形APCE为平行四边形，则O为对角线AC的中点，∴PE总过AC的中点．
(3)正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S正方形PQEF＝S正方形ABCD.当P与顶点B重合时，面积最大，S正方形PQEF＝S正方形ABCD.
类型三 分类讨论
知识点简介：菱形的性质．
经典例题3 菱形ABCD的周长为16，面积为8，则∠BDA为________度．
解析：此题菱形的形状不确定，所以要分∠BAD为钝角和锐角，再分别求出∠BDA的度数．如图1，当∠BAD为钝角时，过A作AE⊥BC于E.∵菱形ABCD的周长为16.∴AB＝BC＝4，∵菱形ABCD的面积为8，∴AE＝2，∴∠ABE＝30°，∴∠BDA＝15°.如图2，当∠BAD为锐角时，过D作DF⊥AB于F，∵菱形ABCD的周长为16，∴AD＝AB＝4，∵菱形ABCD的面积为8，∴DF＝2.∴∠BAD＝30°，∴∠ADC＝150°，∴∠BDA＝75°.
答案：15或75
类型四 线段最短问题
知识点简介：1. 菱形的性质；2. 平行四边形的判定与性质．
经典例题4 如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值为______．
解析：如图，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP＋NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABP＝∠MBP，∴Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ＝CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ＝BC，易求得BC＝5，∴NQ＝5，∴MP＋NP＝QP＋NP＝QN＝5.
答案：5
注意：解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置，把PM＋PN的最小值转化为BC的长.
综 合 检 测
一、选择题
1. 关于?ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则?ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则?ABCD是正方形
2. 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )
A．2 B. C．6 D．8
第2题 第3题
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为( )
A．2 B．4 C．4 D．8
4. 如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为( )
A．5 B．7 C．8 D．
二、填空题
5. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是 .
第5题 第6题
6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝ 度．
7. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为 .
第7题 第8题
8. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为 .
9. 如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.
其中正确的是 (只填写序号)．
第9题 第10题
10. 如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：
①∠1＝∠2＝22.5°；②点C到EF的距离是－1；③△ECF的周长为2；④BE＋DF>EF.
其中正确的结论是 (写出所有正确结论的序号)．
三、解答题
11. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边AD，CD的中点，连接AF，CE，
求证：△ADF≌△CDE.
12. 如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.
(1)求证：△BEF≌△CDF.
(2)连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
14. 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段的差等于PQ的长．
参考答案
1. C 2. A 3. A 4. B
5. 24
6. 90
7.
8. 3
9. ①②③④
10. ①②③
11. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD．又∵E，F分别为边AD，CD的中点，∴DE＝DF.在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE.
12. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB平行且等于CD．∵BE＝AB，∴BE平行且等于CD，∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，∴△BEF≌△CDF.
(2)∵BE平行且等于CD．∴四边形BECD为平行四边形．∴DF＝DE，CF＝BC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FCD＝∠A，∵∠BFD＝∠FCD＋∠FDC，∠BFD＝2∠A，∴∠FDC＝∠FCD．∴FD＝FC．又DF＝DE，CF＝BC，∴BC＝DE.∴?BECD是矩形．
13. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形．
14. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∴∠BAQ＋∠DAP＝90°.∵DP⊥AQ，∴∠APD＝90°，∴∠ADP＋∠DAP＝90°.∴∠ADP＝∠BAQ.∵AQ⊥BE，∴∠AQB＝90°.∴∠APD＝∠AQB.∴△DAP≌△ABQ.∴AP＝BQ.
(2)解：AQ与AP；DP与AP；AQ与BQ；DP与BQ.
