北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
自主预习 基础达标
知识点 菱形的判定
1. 定义法：有一组 相等的平行四边形叫做菱形．
2. 判定定理：
定理1：对角线 的平行四边形是菱形．
定理2：四边 的四边形是菱形．
课后集训 巩固提升
一、选择题
1. 下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2. 如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )
A．AC＝AD B．BA＝BC
C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2题 第3题
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
4. 如图所示，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )
A．AE＝AF B．EF⊥AC
C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线
第4题 第5题
5. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2cm，四边形OACB的周长为4cm，则OC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
第6题 第7题
7. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若使四边形EFGH为菱形，需要添加下列条件中的( )
A．AB＝DA B．AB⊥DA
C．DB＝CA D．DB⊥CD
8. 如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )
A．AE＝AF B．EF⊥AC
C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线
二、填空题
9. 如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是 ．
第9题 第10题
10. 如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是 ．
11. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件___________使其成为菱形(只填一个即可)．
第11题 第12题
12. 如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
三、解答题
13. 如图，已知在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：?ABCD是菱形．
14. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.
求证：四边形ABCD是菱形．
15. 如图，已知在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.
求证：?ABCD是菱形．
16. 如图，在长方形ABCD中，点E在边CD上，将该长方形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.
(1)求证：四边形DEFG为菱形；
(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．
17. 如图，在?ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB，CD的延长线交于点E，F.当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．
18. 如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试证明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
参考答案
自主预习 基础达标
知识点 1. 邻边 2. 垂直 相等
课后集训 巩固提升
1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C
9. 菱形
10. 菱形
11. AC⊥BD(答案不唯一)
12. AB＝CD
13. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
14. 证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°，又AM＝AN，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．
15. 证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD. ∴?ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
16. 解：(1)证明：如图，由轴对称的性质得∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，则∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴EF＝GF，ED＝GD，∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四边形DEFG为菱形．
(2)设DE＝x，根据折叠的性质，EF＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得：x＝5，CE＝8－x＝3，∴＝.
17. 解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．证明：∵在?ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO.在△EBO和△FDO中，∴△EBO≌△FDO(AAS)，∴EO＝FO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC⊥EF时，平行四边形AECF是菱形．
18. 解：(1)证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF.又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．
(3)四边形BEDF可能是菱形．理由如下：如图，连接BF，DE.由(2)知△AOF≌△COE，∴OF＝OE，∴EF与BD互相平分．当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，AC＝＝2，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
