4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( B )
(A)相离 (B)相交
(C)内切 (D)外切
解析:把x2+y2-8x+6y+9=0化为(x-4)2+(y+3)2=16,又x2+y2=9,
所以两圆心的坐标分别为(4,-3)和(0,0),两半径分别为R=4和r=3,
则两圆心之间的距离d==5,
因为4-3<5<4+3即R-r
2.两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的相交弦所在的直线方程为( A )
(A)x+2y-6=0 (B)x-3y+5=0
(C)x-2y+6=0 (D)x+3y-8=0
解析:两圆方程作差,得相交弦所在直线方程为x+2y-6=0.故选A.
3.两圆x2+y2=1与x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦长为( D )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:由于公共弦所在的直线方程为x+3y+1=0,圆心(0,0)到直线x+3y+1=0的距离为d=,所以公共弦长为2=.故选D.
4.方程lg(x2+y2-1)=0表示的曲线图形是( D )
解析:当x=1时,x2+y2-1>0,即x2+y2>1,y≠0;当x>1时,x2+y2-1=1,即x2+y2=2,故选D.
5.已知圆M:x2+y2-4y=0,圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,则圆M与圆N的公切线条数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:圆M:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,表示以M(0,2)为圆心,半径等于2的圆.圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,表示以N(1,1)为圆心,半径等于1
的圆.
两圆的圆心距等于|MN|=,小于半径之和,大于半径之差的绝对值,故两圆相交,故两圆的公切线的条数为2.
6.两圆(x-a)2+(y-b)2=c2和(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则( B )
(A)(a-b)2=c2 (B)(a-b)2=2c2
(C)(a+b)2=c2 (D)(a+b)2=2c2
解析:两圆半径相等,故两圆外切,
圆心距d==|b-a|=2|c|,
所以(b-a)2=2c2,即(a-b)2=2c2,故选B.
7.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( D )
(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x±4)2+(y-6)2=6
(C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x±4)2+(y-6)2=36
解析:由题意知,半径为6的圆与x轴相切,且圆心在x轴上方.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b=6,
再由=5,可以解得a=±4,
故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
故选D.
8.(2018·浙江台州检测)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区内的时间为( B )
(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h
解析:如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区,取MN的中点E,连接BE,BN,BM,则BE⊥MN,BN=BM,△ABE为等腰直角三角形,因为AB=40 km,所以BE=20 km,在Rt△BEN中,NE==
10(km),则|MN|=20(km),所以时间为1 h.故选B.
9.两圆x2+y2+2x-4y+3=0与x2+y2-4x+2y+3=0上的点之间的最短距离为
.?
解析:由于(x+1)2+(y-2)2=2,(x-2)2+(y+1)2=2,两圆心之间的距离为3,故最短距离为3--=.
答案:
10.与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程为 .?
解析:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意知,=r+1,=,=r,
解得a=4,b=0,r=2,故圆的方程为(x-4)2+y2=4.
答案:(x-4)2+y2=4
11.圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0的公共弦的弦长为 .?
解析:两圆相交弦所在的直线方程为3x-4y+6=0,圆x2+y2+2x-6y+1=0的圆心到直线3x-4y+6=0的距离d==,
所以弦长为2=2×=.
答案:
12.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为 .?
解析:设所求圆的方程为x2+y2+6y-28+λ(x2+y2+6x-4)=0,即x2+y2+
x+y-=0,由题意得-+-4=0,得λ=-,所以所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
答案:x2+y2-x+7y-32=0
13.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于
两点.
(1)求公共弦AB所在的直线方程;
(2)求圆心在直线AB上,且经过A,B两点的圆的方程;
(3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.
解:(1)圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0的公共弦所在直线方程为x2+y2+2x+2y-8-(x2+y2-2x+10y-24)=0,即x-2y+4=0.
(2)由
解得或
所以A,B两点的坐标分别为(-4,0),(0,2),
中点坐标为(-2,1),
则|AB|==2,
故所求圆的圆心为(-2,1),半径为,
所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,
即x2+y2+4x-2y=0.
(3)经过A,B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆,与(2)的圆是相同的.
则所求圆的方程为x2+y2+4x-2y=0.
14.已知隧道的截面是半径长为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为x2+y2=16(y≥0).将x=2.7代入,得y==<3,
所以,在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度.
因此,货车不能驶入这个隧道.
将x=a代入x2+y2=16(y≥0),得y=,
所以货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为 m.
15.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )
(A)5-4 (B)-1
(C)6-2 (D)
解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1′C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.
16.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( B )
(A)是锐角三角形
(B)是直角三角形
(C)是钝角三角形
(D)不存在
解析:由题意知d==1,则a2+b2=c2,所以构成直角三角形.故选B.
17.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .?
解析:由题知O(0,0),O1(m,0),则|OO1|=|m|,
又△OO1A是直角三角形,
所以|OO1|2=|OA|2+|O1A|2,
即m2=()2+(2)2,解得m=±5,
所以|OO1|=5,
所以|AB|==2×=4.
答案:4
18.曲线|x|+|y|=2和圆x2+y2=r2(r>0)无公共点,则r的取值范围为
.?
解析:由|x|+|y|=2表示正方形,不妨设正方形为ABCD,当直线x+y=2与圆相切时,r=.当圆x2+y2=r2过点A,B,C,D时,r=2;要使无公共点,r的取值范围为02.
答案:(0,)∪(2,+∞)
19.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解:(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意,=1,解得k=0或k=-,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),
因为MA=2MO,
所以=2,
化简得x2+(y+1)2=4,
所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,
由题意知,点M(x,y)在圆C上,
所以圆C与圆D有公共点,
则2-1≤CD≤2+1,
即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤.
所以圆C的横坐标a的取值范围为[0,].
课件28张PPT。4.2.2 圆与圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用课标要求:1.能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用直线与圆的方程解决一些简单的问题,了解代数方法解决几何问题的思想.自主学习知识探究1.圆与圆的位置关系及其判断
(1)几何法.由两圆的圆心距d与半径长r,R(R>r)的关系来判断.(2)代数法.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
对于方程组
消去x2,y2,得到一个二元一次方程,然后将其代入其中一个圆的方程得到一个一元二次方程.利用判别式Δ判断两圆的位置关系如下:
Δ>0?有两个不同实数解?两圆相交;
Δ=0?有两个相同实数解?两圆相切(外切或内切);
Δ<0?没有实数解?两圆相离(外离或内含).2.两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③.
(1)方程③表示两圆C1与C2的公共弦所在直线的方程;
(2)若圆C1与圆C2的半径长相等,则方程③表示的直线是两圆的对称轴.
3.两圆公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立得方程组,由此解出两交点的坐标,再利用两点间的距离公式求公共弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用勾股定理解直角三角形,求出公共弦长.4.两圆的位置关系与公切线条数的关系
(1)两圆外离,有四条公切线.
(2)两圆外切,有三条公切线.
(3)两圆相交,有两条公切线.
(4)两圆内切,有一条公切线.
(5)两圆内含,没有公切线.如图所示.5.圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫做圆系方程.常见的圆系方程有以下几种.
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
(2)半径长相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数.
(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ
(Ax+By+C)=0(λ∈R).
(4)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+
y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含有圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意以防漏解).
当λ=-1时,方程变为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在;当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线).自我检测(教师备用)1.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)外切
(C)相交 (D)内切
2.圆x2+y2=4与圆(x-4)2+(y-7)2=1的位置关系是( )
(A)相交 (B)外切 (C)内切 (D)相离
3.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1CDB5.若关于x的方程x+k= 有两个相异实根,则实数k的取值范围为
.?4.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程为 .?答案:x+3y=0题型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为
(1)相切;课堂探究解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
所以|C1C2|= =a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.解:(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当0≤|C1C2|<3,即0≤a<3时,两圆内含.(2)相交;(3)外离;(4)内含.方法技巧 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代数法简便,因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤如下:
(1)将两圆的方程化为标准方程.
(2)求出两圆的圆心距d和半径r1,r2.
(3)根据d与|r1-r2|、r1+r2的大小关系作出判断.即时训练1-1:(1)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(2)已知0(A)内切 (B)外切 (C)内含 (D)相交1-2:已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).
试求a为何值时两圆C1,C2(1)相切;(2)相交;(3)相离.解:对圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,
所以|C1C2|= =a,
(1)当|C1C2|=r1+r2=5即a=5时,两圆外切,
当|C1C2|=r1-r2=3即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时,两圆外离,当|C1C2|<3即0(3)注意:两相交圆的圆心的连线垂直平分相交弦.(注:本题只用了几何法,同学们也可以试试用代数法求解)即时训练2-1:两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为 .?答案:32-2:求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.题型三直线和圆的方程的应用【例3】 装修房间时,准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程;
(2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为100 cm,80 cm,180 cm,用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道?规范解答:(1)如图,以AD所在直线为x轴,以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则点F(60,160).
设圆的方程为x2+[y-(200-r)]2=r2(r>0),
因为点F在圆上,
所以602+[160-(200-r)]2=r2(r>0),解得r=65,
故圆的方程为x2+(y-135)2=4 225.
(2)当y=180时,x2+(180-135)2=652,
解得x2=2 200>402,
故冰箱可以通过此过道.方法技巧 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题,明确题意.(2)建立平面直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程.
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.
(4)把代数结果还原为实际问题的解.即时训练3-1:已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+
|PQ|2为定值.证明:如图,以O为原点,以直线BC为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
设A(x,y),因为|OA|= |BC|=|m|=m,
所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上,
所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2
=2x2+2y2+6n2
=2m2+6n2(定值).点击进入 课时作业谢谢观赏！