课件33张PPT。4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式课标要求:1.理解空间直角坐标系的有关概念,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出点的坐标.2.掌握空间两点间的距离公式,理解公式使用的条件,会用公式计算或证明.自主学习知识探究1.空间直角坐标系的有关概念
如图,为了确定空间点的位置,我们建立空间直角坐标系.以单位正方体为截体.以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴、z轴.这时,我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫坐标原点,x轴、y轴、z轴叫坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面,通常建立的坐标系为右手直角坐标系,即右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,中指指向z轴的正方向.2.空间任意点与有序数组(x,y,z)之间的对应法则
(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标或横坐标.
(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴),这个平面与y轴的交点记作Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y叫做点P的y坐标或纵坐标.
(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴),这个平面与z轴的交点记作Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z叫做点P的z坐标或竖坐标.(3)关于点对称
点A关于点P的对称点为B?AB的中点为P,所以欲求点A关于点P的对称点,只需利用空间两点的中点坐标公式列方程求解即可.特别地,点A(x,y,z)关于原点的对称点为B(-x,-y,-z).自我检测(教师备用)1.点(0,2,1)位于( )
(A)y轴上 (B)z轴上
(C)xOy面上 (D)yOz面上DDA4.点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点是 .?答案:(-3,2,1)5.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|= .?答案:题型一 空间中点的坐标的确定【例1】 如图所示,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的等边三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,G是棱PB的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点P,A,B,C,D,G的坐标.课堂探究解:如图所示,过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接PE.因为AD⊥PB,
PO⊥AD,PO∩PB=P,
所以AD⊥平面POB,
所以AD⊥OB.因为PA=PD,所以OA=OD.
于是OB平分AD,点E为AD的中点,
所以PE⊥AD.
所以以垂足O为原点,以OB,OP及在底面ABCD内过O且垂直于OB的直线分别为y轴、z轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得∠PEB=120°,∠PEO=180°-120°=60°.
又等边三角形PAD的边长等于2,
所以AE=ED=1,PE= .方法技巧 (1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上.
(2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键.即时训练1-1:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,
|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|∶|AD|∶|AA1|=1∶2∶4.试建立适当的坐标系,写出E,F点的坐标.1-2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;解:(1)很明显A(0,0,0),
由于点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理,可得D(0,3,0),
A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点C(4,3,0).
同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).(2)求点N的坐标.1-3:已知如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且|PA|=|AB|=2,E为PD的中点.建立适当的坐标系,求A,B,C,D,P,E的坐标.解:如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
由|PA|=|AB|=2,四边形ABCD为正方形,可知A,B,C,D,P,E的坐标分别为A(0,0,0,),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).题型二 空间直角坐标系中点的对称问题【例2】 已知点P(2,3,-1),求:
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标;规范解答:(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′,则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标相同,而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数.
所以,点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1).
同理,点P关于yOz,zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(-2,3,-1),(2,
-3,-1).(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标;
(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.规范解答:(2)设点P关于x轴的对称点为Q,则点Q在x轴上的坐标与点P在x轴上的坐标相同,而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数.
所以,点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2,-3,1).
同理,点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-2,3,1),(-2,-3,-1).
(3)点P(2,3,-1)关于坐标原点对称的点的坐标为(-2,-3,1).(4)点P关于点(1,2,-6)对称的点的坐标.即时训练2-1:(1)在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与点Q(3,-4,-5)两点的位置关系是( )
(A)关于x轴对称 (B)关于xOy平面对称
(C)关于坐标原点对称 (D)以上都不对
(2)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
(A)(-2,1,-4) (B)(-2,-1,-4)
(C)(2,-1,4) (D)(2,1,-4)解析:(1)由于P,Q两点的横坐标相等,纵坐标与竖坐标分别互为相反数,故P,Q两点关于x轴对称.故选A.
(2)过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点的中点,因为N的坐标为(-2,1,0),所以对称点的坐标为(-2,1,-4),故选A.2-2:在空间直角坐标系中有一个点P(1,3,-2),求:
(1)点P关于坐标原点O的对称点P1的坐标;解:(1)设点P1的坐标为(x1,y1,z1),因为点P和P1关于坐标原点O对称,所
以点O为线段PP1的中点,由中点坐标公式得 所以点P1的坐标
为(-1,-3,2).(2)点P关于x轴的对称点P2的坐标;(3)点P关于坐标平面yOz的对称点P3的坐标.题型三空间两点间的距离【例3-1】 在空间直角坐标系中,给定点M(2,-1,3),若点A与点M关于xOy平面对称,点B与点M关于x轴对称,则|AB|等于( )
(A)2 (B)4
(C)2 (D)3【3-2】 已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.方法技巧 求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.即时训练3-1:(1)在空间直角坐标系中,A(-6,0,1),B(-5,1,3),则|AB|=
;?
(2)若点P在x轴上,它到P1(0, ,3)的距离是到P2(0,1,-1)的距离的2倍,则点P的坐标为 ;?答案:(1) (2)(1,0,0)或(-1,0,0) 答案:(1) 点击进入 课时作业谢谢观赏！4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式
1.点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在( C )
(A)y轴上 (B)xOy面上
(C)xOz面上 (D)yOz面上
解析:由于点P(1,0,2)的纵坐标y=0知,该点在xOz面上.故选C.
2.点A(2,1,-1)关于x轴对称的点的坐标为( A )
(A)(2,-1,1) (B)(2,-1,-1)
(C)(-2,-1,-1) (D)(-2,1,-1)
解析:关于x轴对称的两点的横坐标相等,其他坐标分别互为相反数.故选A.
3.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( B )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于z轴对称 (D)关于原点对称
解析:A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称,故选B.
4.如图,在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′,则A′C的中点E与AB的中点F的距离为( B )
(A)a (B)a
(C)a (D)a
解析:由题图可得,F(a,a,0),A′(a,0,a),C(0,a,0),
所以E(a,a,a),
则|EF|==a.
5.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形ABC是( A )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等边三角形
解析:由题|AB|==,
|AC|==,
|BC|==1,
所以AC2=AB2+BC2,
所以三角形ABC是直角三角形.
6.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( C )
(A)(4,2,2) (B)(2,-1,2)
(C)(2,1,1) (D)(4,-1,2)
解析:设点P与点Q的中点坐标为(x,y,z),则x==2,y==1,z==1.选C.
7.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=,则a的值为( D )
(A)2 (B)4 (C)0 (D)2或4
解析:由空间两点间的距离公式得
|AB|==,
即9+a2-6a+9=10,所以a2-6a+8=0,
所以a=2或a=4.选D.
8.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+(y+
1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是( C )
(A)圆 (B)直线
(C)球面 (D)线段
解析:(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面,故选C.
9.给出下列命题:
①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c);
②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c);
③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定是(0,0,c);
④在空间直角坐标系中,在xOy平面上的点的坐标一定是(a,0,c).
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确的答案编号都填上)?
解析:命题①错,坐标应为(a,0,0);命题②③正确;命题④错,坐标应为(a,b,0).
答案:②③
10.已知点A(-2,2,3),点B(-3,-1,1),在z轴上有一点M,满足|MA|=|MB|,则点M的坐标是 .?
解析:设点M的坐标为(0,0,z),因为|MA|=|MB|,所以=
,解得z=,所以点M的坐标为(0,0,).
答案?0,0,)
11.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′点关于原点的对称点的坐标是 .?
解析:点M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影M′(-2,0,-3),M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).
答案:(2,0,3)
12.在△ABC中,若A(-1,2,3),B(2,-2,3),C(,,3),则AB边的中点D到点C的距离为 .?
解析:由题意得D(,0,3),
所以|DC|==.
答案:
13.画一个正方体ABCDA1B1C1D1,以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
(2)求棱C1C中点的坐标;
(3)求平面AA1B1B对角线交点的坐标.
解:空间直角坐标系如图所示.
(1)各顶点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).
(2)棱C1C的中点M的坐标为(1,1,).
(3)平面AA1B1B对角线交点的坐标为AB1的中点.即N(,0,).
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|DD1|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求线段MD,MN的长度;
(2)设点P是DN上的动点,求|MP|的最小值.
解:(1)|MD|==,
|MN|==.
(2)在xDy平面上,设点P的坐标为(2y,y,0),y∈[0,1],
则|MP|=
==.
因为y∈[0,1],
所以当y=时,|MP|取最小值,即.
15.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.
解:(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,
设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,
显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说,y轴上所有点都满足|MA|=
|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.
由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|==,
|AB|==,
于是=,解得y=±,
故在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).
16.点M(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影分别为( B )
(A)(-1,0,1),(-1,2,0)
(B)(-1,0,0),(-1,2,0)
(C)(-1,0,0),(-1,0,0)
(D)(-1,2,0),(-1,2,0)
解析:点M(-1,2,1)在x轴上的射影为M1(-1,0,0),点M在xOy平面上的射影为M2(-1,2,0).故选B.
17.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )
(A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和②
解析:在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.
18.已知x,y,z满足方程(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,则x2+y2+z2的最小值为 .?
解析:由题意得(x,y,z)在以(3,4,-5)为球心,以为半径的球面上,
所以()min=-=5-=4,
所以(x2+y2+z2)min=(4)2=32.
答案:32
19.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:
①点M关于x轴的对称点M1的坐标为(a,-b,c);
②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为(a,-b,-c);
③点M关于y轴的对称点M3的坐标为(a,-b,c);
④点M关于原点的对称点M4的坐标为(-a,b,-c).
其中是错误的命题的编号为 .?
解析:命题①②③④均错.正确的答案M1(a,-b,-c),
M2(-a,b,c),M3(-a,b,-c),M4(-a,-b,-c).
答案:①②③④
20.如图所示,已知正四面体ABCD的棱长为1,点E,F分别为棱AB,CD的中点.
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;
(2)证明:△BEF为直角三角形.
(1)解:如图,设底面等边三角形BCD的中心为点O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO⊥平面BCD,点M是BC的中点,且DM⊥BC,过点O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM,故以O为坐标原点,OM,ON,OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正四面体A-BCD的棱长为1,点O为底面△BCD的中心,
所以|OD|=|DM|==,
|OM|=|DM|=.
|OA|===,
|BM|=|CM|=,
所以A(0,0,),B(,-,0),C(,,0),D(-,0,0).
(2)证明:由(1)及中点坐标公式,得
E(,-,),F(-,,0),
所以|EF|==,
|BE|==,
|BF|==.
所以|BE|2+|EF|2=|BF|2,故△BEF为直角三角形.
