课件36张PPT。章末总结网络建构一、圆的方程【典例1】 已知动圆C经过点A(2,-3)和B(-2,-5).
(1)当圆C面积最小时,求圆C的方程;主题串讲(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上,求圆C的方程.规律方法 用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式;
(2)由题意得关于a,b,r(或D,E,F)的方程(组);
(3)解出a,b,r(或D,E,F);
(4)代入圆的方程.1-2:若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是
.?二、直线与圆的位置关系
【典例2】 圆C:x2+y2-2x-8=0内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)当弦AB最长时,求直线l的方程;解:(1)因为圆C的圆心为C(1,0).
又弦AB最长时,直线l过点(1,0)和(2,2),
所以直线l的方程为2x-y-2=0.(2)当直线l被圆C截得的弦长为4 时,求l的方程.规律方法 解决圆中弦长问题常用方法
(1)应用圆中直角三角形:半径r,圆心到直线的距离d,弦长l具有的关系:
r2=d2+( )2.
(2)利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长.即时训练2-1:已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4,则实数a的值为( )
(A)-2 (B)-4
(C)-6 (D)-82-2:圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )
(A)相离 (B)相切
(C)相交 (D)以上都有可能解析:直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=
-5<0,
所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内.直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交,故选C.三、圆与圆的位置关系
【典例3】 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.规律方法 两圆相交常见问题的解法
(1)若两圆相交,只要x2,y2的系数对应相等,两圆方程作差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程.(2)求两圆公共弦长,①利用两圆方程组成的方程组求得两交点的坐标,再利用两点间距离公式求解即可;②利用圆心到公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长.即时训练3-1:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为( )
(A)x+2y+1=0 (B)x+2y-1=0
(C)x-2y+1=0 (D)x-2y-1=0解析:因为圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,所以两圆的方程作差得6x+12y-6=0,即公共弦所在直线方程为x+2y-1=0.故选B.3-2:已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离四、与圆有关的最值问题
【典例4】 已知实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求:
(1) 的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值;(3) 的最大值与最小值.规律方法 利用数形结合解决有关圆的最值问题
利用数形结合解决最值问题时,首先将代数表达式赋予几何意义,画出图形,根据图形的几何性质,观察出最值出现的时机和位置,从而解决求代数表达式的最值问题.这是用几何方法解决代数问题的常用方法,即数形结合.即时训练4-1:已知圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=1.
(1)求圆C关于原点(0,0)对称的圆C1的标准方程;
(2)求圆C关于直线y=-x对称的圆C2的标准方程;解:由于圆心C的坐标为(3,2),半径为r=1.
(1)由于C(3,2)关于原点(0,0)对称点C1(-3,-2),所以圆C1的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=1.(3)记f=x2+y2,求fmax,fmin.五、易错题辨析【典例5】 求半径长为4,与圆C:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.错因分析:上述错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,而漏掉了圆心在直线y=0下方的情形,另外错解没有考虑两圆内切的情况,也是不全面的.真题体验ACD答案:45.(2015·江苏卷,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .?答案:(x-1)2+y2=26.(2017·全国Ⅲ卷,文20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,
B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.点击进入 检测试题点击进入 综合检测试题谢谢观赏！第四章 圆与方程 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )
(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0
(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0
解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.
2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )
(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)
(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)
解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).
3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )
(A)m< (B)m>
(C)m<0 (D)m≤
解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.
4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )
(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切
解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.
5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )
(A)-2或2 (B)或
(C)2或0 (D)-2或0
解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,
所以|a-1|=1,
所以a=2或a=0.选C.
6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )
(A)-,4 (B),4
(C)-,-4 (D),-4
解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.
7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.
8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )
(A) (B)1 (C) (D)
解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.
9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )
(A)x+y-2=0 (B)y-1=0
(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0
解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为kOP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )
(A)5x+12y+20=0
(B)5x-12y+20=0
(C)5x+12y+20=0或x+4=0
(D)5x-12y+20=0或x+4=0
解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是 ,半径是 .?
解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.
答案:(2,-3)
12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为 , .?
解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),
所以|A1C|==,|A1C1|==.
答案:
13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .?
解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得
所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.
答案:6 -2
14.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于 ,mn的取值范围是 .?
解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-
n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].
答案:2 (-∞,1]
15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是 .?
解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,
当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,
|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1
直线与曲线x=有且只有一个公共点.
答案:(-1,1]∪{-}
16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是 .?
解析:A∩B=B等价于B?A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0答案:(-∞,5]
17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为 .?
解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.
答案:2或6
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.
(1)求直线 l 的方程;
(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.
解:(1)由
解得P(1,1),
又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,
所以l:y-1=-(x-1),
即直线l的方程为x+y-2=0.
(2)由题设知C(a,0),半径r=2,
因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,
所以C到直线l的距离为2,
所以=2,又a>0,得a=6.
19.(本小题满分15分)
已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),
所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①
又直径|CD|=4,
所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②
由①②解得或
所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),
所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
20.(本小题满分15分)
已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;
(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的
方程.
解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,
所以圆心C为(-2,3),
直线l:3x+2y+6=0,
圆心C到直线l的距离
d==,
所以|AB|=2=.
(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)
所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,
因为a>0,所以a=,
所以方程(*)的解为x=-,
所以切点坐标为(-,),
根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为
(x+5)2+(y-)2=3.
21.(本小题满分15分)
已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.
解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.
当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.
所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.
当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,
则=.
所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,
所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,
即2x1-4y1+3=0.
要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,
|PM|最小,
此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).
22.(本小题满分15分)
圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;
(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.
解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,
直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.
(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,kAB·kPC=-1,又kPC=-1,
所以kAB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.
(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①
由题意得,=λ,即
=λ.
整理得
+=λ2[-2ax0+a2+], ②
由①②得,
3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以
又a≠0,λ>0,λ≠1,
解之得a=3.
