4.1.2 圆的一般方程
1.圆x2+y2+2x-2y=0的面积为( B )
(A)π (B)2π (C)2π (D)4π
解析:由于(x+1)2+(y-1)2=2,所以r=,所以圆面积S=πr2=2π.故
选B.
2.已知圆的方程是x2+y2-4x-6y+9=0,则点P(3,2)( B )
(A)是圆心 (B)在圆内
(C)在圆上 (D)在圆外
解析:圆的方程化成标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4,由于(3-2)2+(2-3)2=
1+1=2<4,所以点P在圆内,但不是圆心,故选B.
3.若方程x2+y2+4kx-2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围为( C )
(A)(,1)
(B)[,1]
(C)(-∞,)∪(1,+∞)
(D)(-∞,]∪[1,+∞)
解析:由于(x+2k)2+(y-1)2=4k2-5k+1>0,解得k<或k>1.故选C.
4.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当其面积最大时,圆心坐标为( D )
(A)(1,1) (B)(0,1)
(C)(-1,0) (D)(0,-1)
解析:圆的方程化为(x+)2+(y+1)2=1-k2,要使其面积最大,则1-k2最大,当k=0时最大,此时圆心坐标为(0,-1),故选D.
5.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,若直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( D )
(A)x2+y2-2x-3=0
(B)x2+y2+4x=0
(C)x2+y2+2x-3=0
(D)x2+y2-4x=0
解析:设圆心为(a,0)(a>0),由=2,得a=2,
所以圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
6.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( B )
(A) (B)
(C) (D)
解析:△ABC外接圆圆心在线段BC垂直平分线上即直线x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,得b=,所以圆心到原点的距离d==,故选B.
7.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( B )
(A)π (B)4π (C)8π (D)9π
解析:设动点P坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|
知=2,化简得(x-2)2+y2=4,得轨迹为以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,该圆的面积为4π.
8.设A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是( B )
(A)4x-3y-2=0 (B)4x-3y-6=0
(C)3x+4y+6=0 (D)3x+4y+8=0
解析:将x2+y2+4y=0化为x2+(y+2)2=4.可知圆心的坐标为(0,-2).又由题意知,所求直线与已知直线AB垂直,故其斜率k=,从而所求直线方程为y+2=x,即4x-3y-6=0,故选B.
9.x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ,半径是 .?
解析:由方程x2+y2-2x+4y=0可得(x-1)2+(y+2)2=5,所以圆心坐标为(1,-2),半径为.
答案:(1,-2)
10.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的一般方程为 .?
解析:因为(a-1)x-y+a+1=0可化为a(x+1)-x-y+1=0,直线恒过点(-1,2),所以所求的圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5即x2+y2+2x-4y=0.
答案:x2+y2+2x-4y=0
11.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 .?
解析:圆M的圆心为(-2,-1),由题意知,点M在直线l上,所以-2a-b+
1=0,
所以b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5.
答案:5
12.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示圆.给出下列命题:①圆关于直线y=x对称;②圆关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过原点.其中正确的命题是 .(把你认为正确的命题的编号都写上)?
解析:由于(x+a)2+(y-a)2=2a2表示圆,所以a≠0.圆心(-a,a)在直线x+y=0上,命题②正确,命题①③④错误.
答案:②
13.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,
0),(4,0),求它的外接圆的方程.
解:由题意得,等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0,-5).
当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆的方程为x2+y2-y-16=0.
当顶点坐标是(0,-5)时,同理可得圆的方程为x2+y2+y-16=0.
综上,它的外接圆的方程为
x2+y2-y-16=0或x2+y2+y-16=0.
14.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),
则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,).
由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=,
从而
又点N(x+3,y-4)在圆上,
故(x+3)2+(y-4)2=4.
当点P在直线OM上时,
有x=-,y=或x=-,y=.
因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点(-,)和点(-,).
15.已知曲线C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0.
(1)当a取何值时,方程表示圆;
(2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点;
(3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值.
(1)解:当a=-1时,方程为x+2y=0,为一条直线;
当a≠-1时,(x-)2+(y+)2=表示圆.
(2)证明:方程变形为x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.
令
解得或
故C过定点A(0,0),B(,-).
(3)解:因为圆恒过点A,B,
所以以AB为直径的圆面积最小.
则圆心为(,-).
所以=,
解得a=.
16.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( B )
(A)(x-1)2+y2=4 (B)(x-1)2+y2=2
(C)y2=2x (D)y2=-2x
解析:由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,以为半径长的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,故
选B.
17.若直线ax+by+1=0始终平分圆x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+
(b-2)2的最小值为( C )
(A) (B)2 (C)5 (D)10
解析:由题意知圆心(-2,-1)在ax+by+1=0上,所以-2a-b+1=0,而b=1-
2a,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(1+2a)2=5a2+5≥5,所以最小值为5,故选C.
18.已知实数x,y满足方程x2+y2-6x+5=0,则x2+y2的取值范围为
.?
解析:x2+y2-6x+5=0可以化为(x-3)2+y2=4,它表示圆心坐标为(3,0),半径长为2的圆,x2+y2表示该圆上点与原点距离的平方,又圆心到原点的距离为3,半径为r=2,所以(x2+y2)max=(3+2)2=25,(x2+y2)min=(3-2)2=1.所以x2+y2的取值范围为[1,25].
答案:[1,25]
19.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则线段PA的中点M的轨迹方程为 .?
解析:由于圆心A(2,-1),设P(x0,y0),M(x,y),则2x=2+x0,2y=y0-1,故x0=2x-2,y0=2y+1代入+-4x0+2y0-11=0得x2+y2-4x+2y+1=0.
答案:x2+y2-4x+2y+1=0
20.已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点M满足·=k,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹表示的曲线.
解:设动点M(x,y),由于·=(x,y-1)·(x,y+1)=x2+y2-1,=
(x-1)2+y2,由已知得x2+y2-1=k(x2+y2-2x+1),整理得(k-1)x2+(k-1)y2-
2kx+k+1=0.
当k=1时,方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线;
当k≠1时,方程可化为x2+y2-+=0,即(x-)2+y2=()2,表示以(,0)为圆心,以为半径的圆.
课件27张PPT。4.1.2 圆的一般方程课标要求:1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径.2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题.
3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.自主学习知识探究1.圆的一般方程的概念
(1)定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫做圆的一般方程.(3)圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点:
①x2,y2的系数相等且不为0;
②没有xy项.2.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明3.点与圆的位置关系已知点M(x0,y0)和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则点M与圆的位置关系的判断方法:4.待定系数法求圆的一般方程
同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也有三个待定的系数D,E,F,因此必须具备三个独立条件,才能确定一个圆.
用待定系数法求圆的一般方程的步骤是:
(1)根据题意,设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0;
(2)根据条件列出关于D,E,F的方程组;
(3)解出D,E,F,代入圆的一般方程.自我检测(教师备用)C2.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则( )
(A)这些圆的圆心都在直线y=x上
(B)这些圆的圆心都在直线y=-x上
(C)这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上
(D)这些圆的圆心不在同一条直线上A3.若直线l:ax-by+1=0平分圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则a+2b的值为( )
(A)1 (B)-1
(C)4 (D)-4
4.以点A(0,0),B(4,3)为直径的两个端点的圆的一般方程是 .A答案:x2+y2-4x-3y=05.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 .?答案:x2+y2=4(y≠0)题型一 二元二次方程与圆的关系【例1】 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标与半径:
(1)x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+2ay-1=0;课堂探究解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.
(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示以点(0,-a)为圆心,以 为半径的圆.(3)x2+y2+20x+121=0;
(4)x2+y2+2ax=0.解:(3)原方程可化为(x+10)2+y2=-21,这个方程不表示圆,也不表示其他任何图形.
(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.
当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;
当a≠0时,方程表示以点(-a,0)为圆心,以|a|为半径的圆.方法技巧 判断一个二元二次方程是否表示圆的方程的基本方法是:先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征即①x2和y2的系数相等且不为0;②没有xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数.即时训练1-1:(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是( )
(A)(1,+∞) (B)(-∞,1)
(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]
(2)若直线x+y=1平分圆x2+y2+Dx+Ey=0,则D与E的关系是( )
(A)D+E=2 (B)D+E=1
(C)D+E=-1 (D)D+E=-2解析:(1)由题意得(-4)2+22-4×5k>0,k<1.故选B.题型二 求圆的方程【例2】 (12分)已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.变式探究:若本例改为已知圆过A(2,2),C(3,-1),且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.题后反思 对圆的一般方程和标准方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F.即时训练2-1:求圆心在y=-x上且过两点(2,0),(0,-4)的圆的一般方程,并把它化成标准方程.2-2:圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6.求圆C的一般方程.题型三求动点的轨迹方程(或轨迹) 【例3】 已知直角△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC中点M的轨迹方程.题后反思 求与圆有关的轨迹方程的常用方法
(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点所满足的条件,并用坐标表示,化简即得轨迹方程.(2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.即时训练3-1:动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程为 .?答案:x-2y-1=03-2:已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,求线段AB的中点P的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么?点击进入 课时作业谢谢观赏！
