4.1.1 圆的标准方程
1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是( B )
(A)π (B)2π (C)2π (D)2π
解析:由圆的标准方程可知,其半径为,周长为2π.故选B.
2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( A )
(A)在圆外 (B)在圆内 (C)在圆上 (D)不确定
解析:把P(m,5)代入x2+y2=24,得m2+25>24.所以点P在圆外,故选A.
3.已知点A(-1,),B(1,-),则以线段AB为直径的圆的标准方程为( D )
(A)x2+y2=1 (B)x2+y2=
(C)x2+y2=2 (D)x2+y2=4
解析:由于圆心为线段AB的中点(0,0),|AB|=4,半径为r=2,所求圆的标准方程为x2+y2=4.故选D.
4.已知以点C(2,-3)为圆心,半径长为5的圆,则点A(5,-7)与圆C的位置关系为( B )
(A)在圆内 (B)在圆上
(C)在圆外 (D)无法判断
解析:由于圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=25,把点A(5,-7)代入得(5-2)2+(-7+3)2=9+16=25,所以点A(5,-7)在圆上.故选B.
5.圆C1:(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆C2的标准方程为( B )
(A)x2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+y2=5
(C)x2+(y+2)2=5 (D)(x-1)2+y2=5
解析:由于圆心C1(-2,0)关于原点(0,0)的对称点为C2(2,0),半径不变,所以圆C2的标准方程为(x-2)2+y2=5.故选B.
6.过两点P(2,2),Q(4,2),且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是( A )
(A)(x-3)2+(y-3)2=2
(B)(x+3)2+(y+3)2=2
(C)(x-3)2+(y-3)2=
(D)(x+3)2+(y+3)2=
解析:因为PQ的中垂线为x=3,由得
所以圆心为(3,3),
r2=(3-2)2+(3-2)2=2.
故所求的圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.
7.已知圆心为P(-2,3),并且与y轴相切,则该圆的方程是( B )
(A)(x-2)2+(y+3)2=4 (B)(x+2)2+(y-3)2=4
(C)(x-2)2+(y+3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=9
解析:由题意知,该圆的圆心为(-2,3),半径为2,所以其标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.
8.圆x2+y2=1上的点到过点M(3,4)的直线的最大距离为( A )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
解析:圆心到过点M的直线的距离最大值为=5,故圆上的点到过点M的直线的最大距离即为5+1=6.
9.点P(3,2)与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系是 .(填“在圆外”“在圆上”或“在圆内”)?
解析:因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P(3,2)在圆C内.
答案:在圆内
10.以点C(-1,1)为圆心,经过点P(3,5)的圆的标准方程为 .?
解析:由于半径r=|PC|==4,所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=32.
答案:(x+1)2+(y-1)2=32
11.若Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A(4,1),B(4,5),C(1,1),则它的外接圆的标准方程为 .?
解析:由于角A为直角,斜边BC为直径,线段BC的中点M(,3)为外接圆的圆心,半径r=|AM|==.故外接圆的标准方程为(x-)2+(y-3)2=.
答案:(x-)2+(y-3)2=
12.圆 C:(x-1)2+y2=1 关于直线 l:x=0对称的圆的标准方程为 .?
解析:因为圆 C:(x-1)2+y2=1的圆心为点(1,0),半径为1,所以已知圆关于直线l:x=0对称的圆半径为1,圆心为(-1,0),因此,所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1.
答案:(x+1)2+y2=1
13.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心C在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为( B )
(A)(x+1)2+(y-1)2=2
(B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2
(D)(x+1)2+(y+1)2=2
解析:设圆心C(a,-a),得r==,解得a=1,r=,所以圆心C(1,-1),圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.
14.若圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2关于直线y=x-1对称,则圆C2的标准方程为( B )
(A)(x+2)2+(y-2)2=1 (B)(x-2)2+(y+2)2=1
(C)(x+2)2+(y+2)2=1 (D)(x-2)2+(y-2)2=1
解析:设圆心C2(a,b),则点C1(-1,1)与点C2(a,b)关于直线y=x-1对称,所以
解得圆心C2(2,-2),
所以圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=1.故选B.
15.圆心在直线y=-4x上且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的标准方程为 .?
解析:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得
解得
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
答案:(x-1)2+(y+4)2=8
16.已知圆O:x2+y2=9与圆C:(x-2)2+(y+2)2=9关于直线l对称,则直线l的方程为 .?
解析:由于圆心O(0,0),圆心C(2,-2),所以线段OC的中垂线即为直线l,因为线段OC的中点M(1,-1),kOC=-1,kl=1,所以直线l的方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
17.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
解:由于方程(x-2)2+y2=3表示以C(2,0)为圆心,以为半径的圆.
(1)令=k,即kx-y=0.当直线kx-y=0与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值.
此时d==,解得k=±.故的最大值为,最小值为-.
(2)令y-x=b,即y=x+b.当直线y=x+b与圆相切时,截距b取得最大值或最小值.
此时d==,解得b=-2±.故y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
(3)由于x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方.所以(x2+y2)max=
(|OC|+r)2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=(|OC|-r)2=(2-)2=7-4.
课件33张PPT。4.1.1 圆的标准方程课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2.能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.自主学习知识探究1.确定圆的几何要素
在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小.
2.圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长就是半径长.3.圆的标准方程的定义
我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.5.点与圆的位置关系
如图所示,点M与圆A有三种位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外.
那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢?有下列两种方法:6.与圆有关的对称问题
(1)圆的对称性
圆关于直径所在的直线轴对称;圆关于圆心中心对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置.
②两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置.
②两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.自我检测(教师备用)1.已知点A(-4,-3),B(2,7),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
(A)(x+1)2+(y-2)2=136
(B)(x-1)2+(y+2)2=34
(C)(x+1)2+(y-2)2=34
(D)(x-1)2+(y+2)2=136
2.若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是
( )
(A)(2,4) (B)(-∞,2)
(C)(4,+∞) (D)(-∞,2)∪(4,+∞)CD3.已知点P(2,5),M为圆C:(x+1)2+(y-1)2=4上的任意一点,则PM的最大值为( )
(A)10 (B)9 (C)8 (D)7D4.点(2 ,3)与圆x2+y2=25的位置关系是在圆 (选填“内”
“上”或“外”).?答案:内5.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是 .?答案:(x-2)2+(y+1)2=1题型一 点与圆的位置关系课堂探究【例1】 写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7),M2(4,-1),M3(6,1)与圆的位置关系.解:圆心为A(2,-3)半径等于5的圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5,-7)代入圆的方程得(5-2)2+(-7+3)2=25,所以点M1在圆上;
把点M2(4,-1)代入圆的方程得
(4-2)2+(-1+3)2<25,所以点M2在圆内;
把点M3(6,1)代入圆的方程得(6-2)2+(1+3)2>25,
所以点M3在圆外.方法技巧 判断点与圆的位置关系有两种方法
(1)几何法:计算点与圆心的距离与半径的大小关系;
(2)代数法:将点的坐标代入圆的方程,判断式子两边的大小关系,并得出结论.即时训练1-1:若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
(A)(-1,1) (B)(0,1)
(C)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)a=±1解析:若点(1,1)在圆的内部,则(1-a)2+(1+a)2<4,化简得a2<1,因此-1
D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.题型二 求圆的标准方程【例2-1】 经过点A(-1,3),B(4,2),且圆心在x轴上的圆的方程为 .?【2-2】 求过点A(-3,2),B(-5,-2)且圆心在直线2x-y+3=0上的圆的标准方程.【2-3】 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.方法技巧 一般地,不在同一条直线上的三点可以确定一个圆;三角形有唯一的外接圆,圆心为三角形三边垂直平分线的交点;已知圆心所在的直线及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心.求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径即时训练2-1:求满足下列条件的圆的方程.
(1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3);(2)经过点P(4,2),Q(-6,-2),且圆心在y轴上;(3)经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心在3x+10y+9=0上;(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).
(1)求此圆的标准方程;解:(1)由题意,结合图(1)可知圆心为(3,0),r=2,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.方法技巧 一般地,求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题,常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决,充分体现了转化与化归的数学思想.即时训练3-1:(1)若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为 .?答案:(1)1(2)设点P(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上任意一点,则 的最大值为 .?(3)圆x2+(y+4)2=4上的点到直线l:x+y=1的距离的最大值为 ,最小值为 .?点击进入 课时作业谢谢观赏！