4.2.1 直线与圆的位置关系
1.直线3x-4y+6=0与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系是( C )
(A)相离 (B)相切
(C)相交且过圆心 (D)相交但不过圆心
解析:由于圆心(2,3)在直线3x-4y+6=0上,故选C.
2.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( C )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)4
解析:由于(x-1)2+(y-2)2=5,则圆心为(1,2),半径长为,因为圆心到直线的距离d==1,
所以弦长为2=2=4.故选C.
3.若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( D )
(A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0
(C)x+2y-3=0 (D)2x-y-1=0
解析:由于圆心Q(3,0),直线MN与直线PQ垂直,因为kPQ=-,则kMN=2,所以直线MN方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选D.
4.直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是( B )
(A)相切 (B)相交
(C)相离 (D)不确定
解析:因为(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1),又(-1)2+(-1)2-2×
(-1)+2×(-1)-7<0,所以定点(-1,-1)在圆内,所以直线与圆相交.
5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )
(A)(x-3)2+(y-)2=1
(B)(x-2)2+(y-1)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1
(D)(x-)2+(y-1)2=1
解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.
6.若点P(x0,y0)在圆C:x2+y2=r2的内部,则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是( C )
(A)相交 (B)相切
(C)相离 (D)无法确定
解析:点P在圆x2+y2=r2内部,
所以+而圆心到直线xx0+yy0=r2的距离是d=>=r,
所以直线与圆相离.
7.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )
(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3
解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,
整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,
两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,
故选C.
8.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( B )
(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8
解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,圆心为(-1,1),半径长r满足r2=2-a,则圆心到直线x+y+2=0的距离d==,所以r2=4+2=2-a?a=-4.选B.
9.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为 .?
解析:由于圆心M(2,0),切线与MP垂直,因为kMP=-,所以切线斜率为,切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.
答案:x-y+2=0
10.若过点P(1,-1)作圆x2+y2+kx+2y+k2=0的切线有两条,则实数k的取值范围是 .?
解析:过点P的切线有两条,即点P(1,-1)在圆外,
所以12+(-1)2+k-2+k2>0,
所以k2+k>0,
所以k>0或k<-1.
答案:{k|k<-1或k>0}
11.已知过点M(-3,0)的直线l被圆x2+(y+2)2=25所截得的弦长为8,那么直线l的方程为 .?
解析:设直线方程为y=k(x+3)或x=-3,因为圆心坐标为(0,-2),圆的半径为5,所以圆心到直线的距离d==3,所以=3,
所以k=,所以直线方程为y=(x+3),
即5x-12y+15=0;
直线x=-3,圆心到直线的距离
d=|-3|=3,符合题意.
答案:x=-3或5x-12y+15=0
12.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .?
解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,
于是有=,
即a2-8a+1=0,
解得a=4±.
答案:4±
13.当m为何值时,直线l:y=x+m与圆O:x2+y2=1
(1)相交;(2)相切;(3)相离.
解:由于圆心O(0,0),半径r=1,圆心O到直线l的距离d=.
(1)若直线l与圆O相交,则d(2)若直线l与圆O相切,则d=r,即=1,即m=±.
(3)若直线l与圆O相离,则d>r,即>1,m<-或m>,故m的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).
14.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程.
解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,
所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.
(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.
由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,
得=3.
解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.
(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半
径3,
所以x=-2也是圆C的切线方程.
综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.
15.设有一条光线从光源P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)
反射.
(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);
(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.
解:(1)因为kPQ=-,所以入射光线l1:y=-(x-2),
因为l1,l2关于x轴对称,
所以反射光线l2:y=(x-2).
(2)因为l恒过点N(-2,0),
当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为kMN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,
设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,
所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.
16.若直线mx+ny=1与圆x2+y2=1相交,则点P(m,n)与圆x2+y2=1的位置关系为( B )
(A)在圆上 (B)在圆外
(C)在圆内 (D)以上都有可能
解析:由已知得d=<1,即>1,所以点P在圆外.故选B.
17.曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )
(A)(,] (B)(,)
(C)(,] (D)(0,)
解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=
0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有即实数k的取值范围是(,].
18.已知点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最大值为 .?
解析:直线AB的方程是+=1,|AB|=2,则当△ABC面积取得最大值时,边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值.又圆心M(1,0),半径r=1,点M到直线+=1的距离是,由圆的几何性质得d的最大值是+1,所以△ABC面积的最大值是×2×(+1)=3+.
答案:3+
19.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有 条.?
解析:圆方程可化为(x+1)2+(y-2)2=169,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦条数为2+2×(25-10)=32条.
答案:32
20.已知圆心为C的圆经过点A(-1,1)和B(-2,-2),且圆心在直线l:
x+y-1=0上,
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点P在圆上,点Q在直线x-y+5=0上,求|PQ|的最小值;
(3)若直线kx-y+5=0被圆C截得的弦长为8,求k的值.
解:(1)AB中点M(-,-),kAB=3,
所以AB的垂直平分线l′的方程为y=-x-1,
所以l′与l的交点即为圆心,由直线l及l′的方程求得圆心C(3,
-2),r2=|AC|2=25,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.
(2)因为圆心到直线x-y+5=0的距离d==5>r,
所以直线与圆相离,则|PQ|的最小值为d-r=5-5.
(3)直线被圆C截得的弦长的一半为4,圆C半径为5,
所以圆心C到直线的距离为3,
所以=3,
解得k=-.
课件34张PPT。4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系课标要求:1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.3.能解决直线与圆位置关系的综合问题.自主学习知识探究1.直线与圆的位置关系及图形表示由上表可知,当直线与圆相交时,有两个公共点;当直线与圆相切时,只有一个公共点;当直线与圆相离时,没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判断方法
判断直线与圆的位置关系一般有两种方法.
(1)代数法(判别式法):将直线和圆的方程联立得到一个关于x,y的二元二次方程组,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程,则
Δ>0?直线和圆相交(有两个公共点);
Δ=0?直线和圆相切(有一个公共点);
Δ<0?直线和圆相离(无公共点).
(2)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径长为r,则
dd=r?直线和圆相切(有一个公共点);
d>r?直线和圆相离(无公共点).用表格表示如下:3.自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.
(2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.
(3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
4.切线方程的几个重要结论
(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+
(y0-b)(y-b)=r2.6.切点弦方程
过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切点分别为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.
7.弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b,圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法有以下两种:(2)代数法:将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为E(x1,y1),
F(x2,y2).
①若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解.自我检测(教师备用)1.直线x+y-3=0与圆x2+y2-4y=0的位置关系为( )
(A)相交且直线过圆心
(B)相交且直线不过圆心
(C)相切
(D)相离B3.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是( )
(A)5 (B)4
(C)3 (D)2BCD5.圆心坐标为(2,-1)的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2 ,则此圆的方程为 .?答案:(x-2)2+(y+1)2=4题型一 直线与圆位置关系的判断【例1】 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),过点P的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离,并写出过点P的切线方程.课堂探究解:设过点P的直线的斜率为k(由已知k存在),则方程为y=k(x-4).
法一 由 消去y,得x2+k2(x-4)2=8,
即(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0,
Δ=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).(1)令Δ>0,即32(1-k2)>0,得-1所以当k的取值范围为(-1,1)时,直线与圆相交.
(2)令Δ=0,32(1-k2)=0,得k=±1.
所以当k=±1时直线与圆相切,切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.
(3)令Δ<0,32(1-k2)<0,k>1或k<-1.
所以当k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞)时,直线与圆相离.方法技巧 判定直线与圆位置关系的常用方法
(1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断.
(3)直线系法:若动直线过定点P,则点P在圆内时,直线与圆相交;当P在圆上时,直线与圆相切或相交;当P在圆外时,直线与圆位置关系不确定.即时训练1-1:已知点P(x0,y0),圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:x0x+y0y=r2,有以下几个结论:①若点P在圆O上,则直线l与圆O相切;②若点P在圆O外,则直线l与圆O相离;③若点P在圆O内,则直线l与圆O相交;④无论点P在何处,直线l与圆O恒相切.其中正确的个数是( )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)41-2:已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时,
(1)直线平分圆;
(2)直线与圆相切;
(3)直线与圆有两个公共点.解:(1)因为直线平分圆,所以圆心在直线上,即有m=0.题型二 直线被圆截得的弦长问题【例2】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.2-2:设直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B.
(1)求弦AB的垂直平分线方程;解:(1)因为圆x2+y2-2x-15=0化成标准方程得(x-1)2+y2=16,
所以圆心为C(1,0),半径r=4.
因为直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B,
所以设弦AB的垂直平分线方程为l:2x-y+m=0,
由垂径定理,可知点C(1,0)在l上,得2×1-0+m=0,
解得m=-2.
因此,弦AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0.(2)求弦AB的长.题型三直线与圆相切问题【例3】 (12分)已知圆O:x2+y2=4.
(1)过点P( , )作圆O的切线,求切线l的方程;(2)过点Q(2,4)作圆O的切线,求切线l的方程.变式探究:若本例中(2)改为过点Q(2,4)作圆的切线,则切线长为 .?答案:4 方法技巧 (1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列出(x,y)满足的方程化简则得解.即时训练3-1:(1)已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线l:x- y+3=0相切,则a= .?答案:(1)3(2)过点P(2,1)作圆x2+(y-2)2=1的切线,则切线长为 .?答案:(2)2点击进入 课时作业谢谢观赏！
