3.2.3 直线的一般式方程
1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )
(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2
(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=2
2.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°
解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.
3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )
(A)0 (B)1
(C)0或1 (D)0或-1
解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.
4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )
(A)1 (B)-2
(C)1或-2 (D)-1或2
解析:由题1×2-a(a+1)=0,
所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,
当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;
当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;
故a=-2.
5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )
(A)3 (B)-3
(C) (D)-
解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.
6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )
(A)A,B,C同号 (B)AC>0,BC<0
(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0
解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有
所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.
选项B符合要求.
7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )
解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.
直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.
图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.
B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.
类似可知C,D不合适,选B.
8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )
(A)x+y=0 (B)x-y=0
(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0
解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,
所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.
9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是 .?
解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.
答案:4x+y-14=0
10.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为 .?
解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.
答案:4x-3y+13=0
11.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为 .?
解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.
答案:
12.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为 .?
解析:由题意得
所以(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+y+1=0上,
又两点确定一条直线,
所以所求直线的方程为2x+y+1=0.
答案:2x+y+1=0
13.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.
(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;
(2)经过两点A(0,4)和B(4,0);
(3)经过点(2,-4)且与直线3x-4y+5=0平行;
(4)经过点(3,2),且垂直于直线6x-8y+3=0.
解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为
y-3=-3(x+1),即y-3=-3x-3,
整理得其一般式为3x+y=0.
(2)根据条件,写出该直线的截距式为+=1,
整理得其一般式为x+y-4=0.
(3)设与直线3x-4y+5=0平行的直线为3x-4y+c=0,
将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.
故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.
(4)设与直线6x-8y+3=0垂直的直线为8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.
从而得8x+6y-36=0,
即所求直线的一般式为4x+3y-18=0.
14.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.
(1)l1与l2平行且l2过点(-1,3);
(2)l1与l2垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.
解:(1)设l2的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),
又直线l2过点(-1,3),
故3×(-1)+4×3+m=0,
解得m=-9,
故直线l2的方程为3x+4y-9=0.
(2)因为l1⊥l2,
所以直线l2的斜率k2=.
设l2的方程为y=x+b,
则直线l2与两坐标轴的交点是(0,b),(-b,0),
所以S=|b|·|-b|=4,
所以b=±,
所以直线l2的方程是y=x+或y=x-.
15.(2016·浙江台州质检)直线过点P(,2),且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解:设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0).
由已知,得
由①②解得或
经验证,只有满足③式.
所以存在直线满足题意,其方程为+=1,
即3x+4y-12=0.
16.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示,则( C )
(A)b>0,d<0,a(B)b>0,d<0,a>c
(C)b<0,d>0,a>c
(D)b<0,d>0,a解析:由题图可知直线l1,l2的斜率都大于0,即k1=->0,k2=->0且k1>k2,所以a<0,c<0且a>c.又l1的纵截距-<0,l2的纵截距->0,所以b<0,d>0,故选C.
17.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )
(A)1 (B)-1
(C)-2或-1 (D)-2或1
解析:当截距都为0时,-2-a=0即a=-2;当截距都不为0即a≠-2时,直线方程可变形为+=1,由已知有=a+2得a=1,故选D.
18.已知A(0,1),点B在直线l1:x+y=0上运动,当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为 .?
解析:AB⊥l1时AB最短,所以线段AB所在直线斜率为k=1,方程为y-1=x,即x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
19.若a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过的定点坐标是 .?
解析:由题意直线ax+3y+b=0可变形为(1-2b)x+3y+b=0,
所以(1-2x)b+3y+x=0,
令1-2x=0,x+3y=0得x=,y=-.
答案:(,-)
课件28张PPT。3.2.3 直线的一般式方程课标要求:1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.自主学习知识探究1.直线的一般式方程
(1)定义:我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.2.辨析直线的五种形式的方程3.直线的位置的确定方法
直线的位置可由直线的横、纵截距共同确定:
①直线经过第一、二、三象限?横截距小于0且纵截距大于0;
②经过第一、三、四象限?横截距大于0且纵截距小于0;
③经过第二、三、四象限?横截距小于0且纵截距小于0;
④经过第一、二、四象限?横截距大于0且纵截距大于0.
4.两条直线平行与垂直的条件
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.
(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.自我检测(教师备用)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线在y轴上的截距是( )
(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3
2.过点(1,4)且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为( )
(A)4x-y=0
(B)x+y-5=0
(C)x+y-5=0或4x+y=0
(D)x+y-5=0或4x-y=0
3.如果AB>0,BC>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限BDB4.过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等的直线的一般式方程为 .?答案:2x+y-4=05.若两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标分别满足3x1-5y1+6=0和3x2-5y2+6=0,则经过这两点的直线方程是 .?解析:两点确定一条直线,点A,B均满足方程3x-5y+6=0.答案:3x-5y+6=0题型一 直线的一般式方程课堂探究【例1】根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 ,且经过点A(5,3).
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,
即4x-y-2=0.(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.方法技巧 根据已知条件求直线方程的策略
在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为:
(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;
(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;
(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式;
(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.即时训练1-1:直线l过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则直线l的方程的一般式为 .?答案:3x-2y+12=01-2:下列直线中,斜率为- ,且不经过第一象限的是( )
(A)3x+4y+7=0 (B)4x+3y+7=0
(C)4x+3y-42=0 (D)3x+4y-42=0题型二 利用直线一般式方程解决平行、垂直问题【例2】 (12分)已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值:
(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.变式探究:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限?方法技巧 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0和l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1
≠0)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便.即时训练2-1:(1)若直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,则实数a的值等于( )
(A)-1 (B)0
(C)1 (D)2解析:(1)因为直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,
所以(a+1)·a=2.
所以a2+a-2=0,
所以a=-2或a=1.
当a=-2时,直线-x+2y+1=0与直线x-2y=1重合.
当a=1时,直线2x+2y+1=0与直线x+y=1平行.
选C.(2)若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为( )
(A)-3 (B)1
(C)0或- (D)1或-3解析:(2)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
即a2+2a-3=0,故a=1或-3.选D.(3)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,使l'满足:
①过点(-1,3),且与l平行;
②过点(-1,3),且与l垂直.(3)解:①由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
所以所求直线方程为3x+4y-9=0.
②由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
所以所求直线方程为4x-3y+13=0.题型三直线的一般式方程的应用【例3】(1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,求实数m的范围;(2)当实数m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1①倾斜角为45°;②在x轴上的截距为1.方法技巧(2)一般式转化截距式:一是分别令x=0,y=0,求得b和a;二是移常数项,得Ax+By=-C,两边同除以-C(C≠0),再整理即可.
另外直线Ax+By+C=0中系数A,B确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),这是经常采用的解题技巧;经过点A(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0(m为参数).即时训练3-1:线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过定点A(-3,4);(2)与直线6x+y-3=0垂直.点击进入 课时作业谢谢观赏！
