3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
1.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于( B )
(A)4 (B)4 (C)2 (D)2
解析:由题意易知P(1,1),Q(5,5),
所以|PQ|==4.
故选B.
2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( C )
(A)-24 (B)6 (C)±6 (D)24
解析:在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=,在x-ky+12=0中,令x=0,得y=,所以=,解得k=±6.选C.
3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为( C )
(A)1 (B)-5
(C)1或-5 (D)-1或5
解析:因为|AB|==5,
所以a=-5或a=1,故选C.
4.x轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是( C )
(A) (B)2+
(C) (D)+1
解析:作点(1,1)关于x轴的对称点(1,-1),则距离之和最小值为=.故选C.
5.过两直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是( B )
(A)x-3y+7=0 (B)x-3y+13=0
(C)2x-y+7=0 (D)3x-y-5=0
解析:直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点为(-1,4),与l1垂直,得斜率为,由点斜式得y-4=(x+1),即x-3y+13=0,故选B.
6.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(,a),则△ABC的形状是( C )
(A)等腰三角形 (B)等边三角形
(C)直角三角形 (D)斜三角形
解析:因为kAC==,kBC==-,kAC·kBC=-1,所以AC⊥BC,又|AC|==|a|.|BC|==|a|.
所以△ABC为直角三角形.
7.若直线l:y=kx-与直线l1:2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( B )
(A)[30°,60°) (B)(30°,90°)
(C)(60°,90°) (D)[30°,90°]
解析:直线l1:2x+3y-6=0过A(3,0),B(0,2),而l过定点C(0,-).
由图象可知即可.
所以l的倾斜角的取值范围是(30°,90°).故选B.
8.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( A )
(A) (B)1+
(C)1+ (D)2-
解析:因为S△ABC=,AC:+=1,即3x+2y-6=0.
由得由题意得×a×(3-)=,得a=或a=-(舍).
9.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于 .?
解析:设A(x,0),B(0,y),
因为AB中点P(2,-1),
所以=2,=-1,
所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),
所以|AB|==2.
答案:2
10.过l1:2x-3y+2=0与l2:3x-4y+2=0的交点且与直线4x+y-4=0平行的直线方程为 .?
解析:解可得
设直线4x+y+c=0与直线4x+y-4=0平行.
代入点(2,2),可知c=-10.
答案:4x+y-10=0
11.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围是 .?
解析:由
得
由于交点在第一象限,故x>0,y>0,解得k>.
答案:(,+∞)
12.直线y=-x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边△ABC,则点C的坐标为 .?
解析:由题意得A(,0),B(0,1),则|AB|=2,
易知AC⊥x轴,
所以点C的坐标为(,2).
答案:(,2)
13.求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
解:解方程组得交点(-4,3),因此可设所求直线方程为y-3=k(x+4),即y=k(x+4)+3.
令x=0,得y=4k+3,令y=0,得x=-,于是4k+3=-,
即4k2+7k+3=0,解得k=-或k=-1,
故所求直线方程为3x+4y=0或x+y+1=0.
14.已知△ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程.
解:因为AC⊥BH,所以由kBH=得kAC=-2,
因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,
与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),
因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),
则AB中点M的坐标为(y+5,),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)--5=0,解得y=-3,
因此B(-1,-3),
所以,由两点式可得BC方程为=化简得6x-5y-9=0.
15.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( D )
(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0
(C)2x+y-3=0 (D)x+2y-3=0
解析:设所求直线上任一点(x,y),则它关于x=1对称的点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,即x+2y-3=0.故选D.
16.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( B )
(A)无论k,P1,P2如何,总是无解
(B)无论k,P1,P2如何,总有唯一的解
(C)存在k,P1,P2,使之恰有两解
(D)存在k,P1,P2,使之有无穷多解
解析:由题意,得直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则OP1与OP2不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.故选B.
17.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0不能围成三角形,则a的取值集合是 .?
解析:因为x+y+1=0与2x-y+8=0相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由x+y+1=0与ax+3y-5=0平行得a=3,由2x-y+8=0与ax+3y-5=0平行得a=-6,由三线共点得a=,故a的取值集合是.
答案:
18.点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标 .?
解析:设点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标为(a,b),
则
解得
故点Q的坐标为(-7,10).
答案:(-7,10)
课件29张PPT。3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离课标要求:1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标.3.掌握两点间距离公式并能灵活应用.自主学习知识探究1.根据方程组的解判断两条直线的位置关系
方程组的解的组数与两条直线的位置关系如下表:2.过两条直线交点的直线系方程
过两条直线l1,l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ为参数.在这个方程中,不论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,即它不能表示直线l2.(2)公式的特殊形式:①当P1P2⊥x轴时,|P1P2|=|y1-y2|;②当P1P2⊥y轴时,|P1P2|=
|x1-x2|.6.点关于直线对称
(1)若点P关于直线l的对称点为P′,则直线l为线段PP′的垂直平分线,于
是有
①kPP'·kl=-1(直线l的斜率存在且不为零);
②线段PP'的中点在直线l上;
③直线l上任意一点M到P,P′的距离相等,即|MP|=|MP'|.
(2)常见的点关于直线的对称点:
①点P(x0,y0)关于x轴的对称点P′(x0,-y0);
②点P(x0,y0)关于y轴的对称点P′(-x0,y0);
③点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P′(y0,x0);
④点P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P′(-y0,-x0);
⑤点P(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点P′(2m-x0,y0);
⑥点P(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点P′(x0,2n-y0).自我检测(教师备用)1.直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值为( )
(A)-24 (B)6
(C)±6 (D)-6
2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形CB3.直线y=3x-4关于点P(2,-1)对称的直线l的方程是( A )
(A)y=3x-10 (B)y=3x-18
(C)y=3x+4 (D)y=4x+3解析:在直线上任取两点A(1,-1),B(0,-4),则其关于点P的对称点A',B'可由中点坐标公式求得为A'(3,-1),B'(4,2).由两点式可求得方程为y=3x-10.故选A.4.不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐标为 .?答案:(3,4)5.已知点A(5,12),若P点在x轴上,且|PA|=13,则P到原点的距离为 .?答案:10或0题型一 两条直线的交点问题课堂探究【例1】判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出相应的交点坐标.
(1) (2) (3) 变式探究1:本例(1)改为:当m>4时,直线5x+4y=8+m和3x+2y=6的交点在第
象限.?答案:二变式探究2:本例(1)中的直线改为l1:5x+4y=8+m,l2:3x+2y=6,若l1与l2的交点在第一象限,求实数m的取值范围.方法技巧 两条直线相交的判定方法即时训练1-1:(1)已知点A(0,-1),直线AB与直线x-y+1=0垂直,垂足为B,则点B的坐标是( )
(A)(-1,0) (B)(1,0)
(C)(0,1) (D)(0,-1)答案:(1)A(2)已知三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5相交于一点,则k的值为 .?题型二 两点间距离公式的应用【例2】已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.变式探究:若△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(m,7),当m为何值时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形?解:要使△ABC是以A为直角顶点的直角三角形,
则有AB2+AC2=BC2.
AB2=(-2+1)2+(-1-5)2=37,
AC2=(m+1)2+4=m2+2m+5,
BC2=(m+2)2+64=m2+4m+68,
所以m2+2m+5+37=m2+4m+68,
从而m=-13.
即当m=-13时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.方法技巧 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.即时训练2-1:已知点A(-1,2),B(2, ),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.2-2:已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.题型三对称问题【例3】已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.方法技巧 在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称,处理这类问题要抓住两点:一是过已知点与对称点的直线与对称轴垂直;二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.即时训练3-1:若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点B(-2,1),则k+b= .?3-2:与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )
(A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0
(C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0解析:由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可设所求直线方程为2x+3y+C=0.在直线2x+3y-6=0上任取一点(3,0),关于点(1,-1)对称点为(-1,-2),则点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(-1)+3
×(-2)+C=0,C=8.所以所求直线方程为2x+3y+8=0.故选D.点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！
