3.1.1 倾斜角与斜率
1.过点A(-,)与B(-,)的直线的倾斜角为( A )
(A)45° (B)135°
(C)45°或135° (D)60°
解析:kAB===1,故选A.
2.已知直线l的倾斜角为α,则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为( C )
(A)α (B)90°-α
(C)180°-α (D)90°+α
解析:根据倾斜角的定义,结合图形知所求直线的倾斜角为180°-α.
3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( A )
(A)1 (B)4
(C)1或3 (D)1或4
解析:过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,
所以k==1,解得m=1.
4.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则有( C )
(A)k1(B)k2(C)k1(D)k2解析:设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由题图可知α3<
α2<90°<α1,
故相应斜率的关系为k1<0故选C.
5.已知过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率为1,则实数a的值为( A )
(A)1 (B)2 (C)1或4 (D)1或2
解析:由题意知=1,
所以4-a=a+2,
所以2a=2,
所以a=1.
故选A.
6.已知M(1,),N(,3),若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为( B )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:设直线MN的倾斜角为α,
则tan α===,α=60°,
所以直线l的倾斜角为30°,斜率为,故选B.
7.当直线l的倾斜角α满足0°≤α<120°,且α≠90°时,它的斜率k满足( C )
(A)--
(C)k≥0或k<- (D)k≥0或k<-
解析:当0°≤α<90°时,k≥0;当90°<α<120°时,k<-.
8.已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是 .?
解析:直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是(90°,180°).
答案:(90°,180°)
9.在平面直角坐标系中,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为 .?
解析:如图,易知kAB=,kAC=-,则kAB+kAC=0.
答案:0
10.设斜率为m(m>0)的直线上有两点(m,3),(1,m),则此直线的倾斜角为 .?
解析:由m=,得m2=3,因为m>0,所以m=.
又在[0°,180°)内tan 60°=,所以直线的倾斜角为60°.
答案:60°
11.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+= .?
解析:因为A,B,C三点共线,所以=,
所以(a-2)(b-2)=4,即ab=2a+2b=2(a+b).
所以+===.
答案:
12.设直线l过点A(7,12),B(m,13),求l的倾斜角的取值范围.
解:①当m=7时,直线l与x轴垂直,倾斜角为90°.
②当m≠7时,设直线l的斜率为k,倾斜角为θ,
则k==.
若m>7,则>0,即k>0,所以θ∈(0°,90°),
若m<7,则<0,即k<0.
所以θ∈(90°,180°).
13.求过下列两点的直线l的斜率:
(1)A(a,b),B(ma,mb)(m≠1,a≠0);
(2)P(4,2),Q(2m,1).
解:(1)因为m≠1,a≠0.
所以k===.
(2)当m=2时,斜率不存在;
当m≠2时,k==.
14.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜角为60°.
解:(1)当点P在x轴上时,设点P(a,0),
因为A(1,2),所以直线PA的斜率k==.
又直线PA的倾斜角为60°,
所以tan 60°=,
解得a=1-,
所以点P的坐标为(1-,0).
(2)当点P在y轴上时,设点P(0,b),
同理可得b=2-,
所以点P的坐标为(0,2-).
15.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公
共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解:如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1,
(1)要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是
(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,
所以倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
16.已知直线l的倾斜角范围为[,],则它的斜率的范围为( B )
(A)[-1,]
(B)(-∞,-1]∪[,+∞)
(C)[-1,]
(D)(-∞,-1]∪[,+∞)
解析:因为tan =,tan =-1,由正切函数的图象可得,当θ∈[,]时,tan θ∈(-∞,-1]∪[,+∞),即斜率的范围为(-∞,-1]∪[,
+∞),故选B.
课件27张PPT。3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率课标要求:1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.自主学习知识探究1.倾斜角与倾斜程度
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.因此,我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.x轴正向与直线l向上方向2.倾斜角的范围
当直线l与x轴 时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.具体如下:平行或重合 3.斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,通常用小写字母k表示,即 .?
4.斜率与倾斜角之间的关系
当直线的倾斜角α=0°时,斜率k=0,直线与x轴平行或重合;
当0°<α<90°时,斜率k>0,且k值增大,倾斜角随着增大;
当α=90°时,斜率k不存在(此时直线是存在的,直线与x轴垂直);
当90°<α<180°时,斜率k<0,且k值增大,倾斜角随着增大.
倾斜角α不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.k=tan α 5.过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 .
过程如下:
(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°,所以斜率公式的适用范围不包括倾斜角α=90°的情况.凡是在研究直线的斜率问题时,一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.(2)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关,即在直线l上任取不同的两点P1,P2,其斜率均不变.自我检测(教师备用)1.下列说法正确的是( )
(A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角
(B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
(C)与x轴平行的直线的倾斜角为180°
(D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率
2.若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为( )D B3.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )B 4.若直线l经过二、四象限,则其倾斜角α的范围是 .?答案:90°<α<180°5.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是 .?题型一 直线的倾斜角、斜率的定义【例1-1】 直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k= 时,α=60°;当k= 时,α=135°;当k>0时,α的范围是 ;当k<0时,α的范围是 .?课堂探究【1-2】 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
(A)α+45°
(B)α-135°
(C)135°-α
(D)当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°解析:由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°;又0°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时,
l1的倾斜角为α-135°(如图所示),故选D.方法技巧 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角.
(2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况:
①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大;
②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.即时训练1-1:已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜角为( )
(A)0° (B)45° (C)60° (D)90°1-2:给出下列命题:
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴;
④若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1);
⑤若α是直线l的倾斜角,且sin α= ,则α=45°.
其中正确命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:任意一条直线有唯一的倾斜角,倾斜角不可能为负,倾斜角为0°的直线有无数条,它们都垂直于y轴,因此①正确,②③错误.④中α=0°时,
sin α=0;α=90°时,sin α=1,故④错误.⑤中α有可能为135°,故⑤错误.故选A.1-3:下列命题:
①任一条直线都有倾斜角;
②任一条直线都有斜率;
③若直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α;
④若直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角是α;
⑤直线的倾斜角越大,它的倾率就越大.
正确命题的序号是 .?解析:①显然是正确的;倾斜角为90°的直线没有斜率,故②与③均是错误的;若直线的斜率为-1,-1=tan (-45°),但-45°不是直线的倾斜角,故④是错误的;直线的斜率是在倾斜角α≠90°的条件下定义的,所以直线的倾斜角存在,其斜率不一定存在,并且由正切函数的单调性可知,当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,倾斜角越大斜率越大;当90°<α<180°时,倾斜角越大斜率也越大,但是当0°≤α≤
90°或90°<α<180°时,倾斜角越大斜率不一定越大,故⑤是错误的.答案:①题型二 斜率公式的应用【例2】 已知点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2),直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交.
(1)求直线PM与PN的斜率;(2)求直线l的斜率k的取值范围.误区警示 求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以,更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响.即时训练2-1:(1)过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于( )(2)经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)
(C)(-1,1) (D)(1,+∞)∪(-∞,-1)(3)设直线l过点A(7,12),B(m,13),求直线l的斜率及倾斜角的取值范围.(3)解:设直线l的斜率为k,倾斜角为θ.
①当m=7时,直线l与x轴垂直,斜率不存在,倾斜角为90°.题型三 直线的斜率的应用【例3-1】 若A(1,m),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线,求m的值.方法技巧 若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即kAB=kBC=kAC;若kAB=kBC或kAB=kAC,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同,且又过同一点B或A,因此直线AB与BC或AB与AC重合.即时训练3-1:下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )
(A)(1,3),(5,7),(10,12)
(B)(-1,4),(2,1),(-2,5)
(C)(0,2),(2,5),(3,7)
(D)(1,-1),(3,3),(5,7)3-2:斜率为2的直线经过A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三点,则a,b的值分别为
, .?答案:4 -3点击进入 课时作业谢谢观赏！
