3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
1.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为( D )
(A)1 (B)-1 (C) (D)±
解析:由题意,得=1,即|a|=,
所以a=±.故选D.
2.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是( B )
(A) (B)2 (C) (D)2
解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x+y-4=0的距离d==2.
3.点P在x轴上,且到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( C )
(A)(8,0) (B)(-12,0)
(C)(8,0)或(-12,0) (D)(-8,0)或(12,0)
解析:设点P的坐标为(x,0),则根据点到直线的距离公式可得=6,解得x=8或x=-12.所以点P的坐标为(8,0)或(-12,0).故选C.
4.若直线x+3y-9=0与直线x+3y-C=0的距离为,则C的值为( C )
(A)-1 (B)19
(C)-1或19 (D)1或-19
解析:两平行线间的距离d==,
所以|C-9|=10,得C=-1或C=19.
5.l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为( A )
(A)x+2y-3=0 (B)x-2y-3=0
(C)2x-y-1=0 (D)2x-y-3=0
解析:当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线的距离最大,又kAB==2,所以=-,所以l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
6.直线l垂直于直线y=x+1,原点O到l的距离为1,且l与y轴正半轴有交点,则直线l的方程是( A )
(A)x+y-=0 (B)x+y+1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+=0
解析:因为直线l与直线y=x+1垂直,所以设直线l的方程为y=-x+b.又l与y轴正半轴有交点,知b>0,即x+y-b=0(b>0),原点O(0,0)到直线x+y-b=0(b>0)的距离为=1,解得b=(b=-舍去),所以所求直线l的方程为x+y-=0.
7.两条平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( B )
(A)0(C)0解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=5.所以08.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为( B )
(A)0或- (B)或-6
(C)-或 (D)0或
解析:由题意知直线mx+y+3=0与AB平行或过AB的中点,则有-m=或m×++3=0,
所以m=或m=-6.
故选B.
9.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于 .?
解析:因为A,B两点到直线l的距离相等,
所以AB∥l或l过AB的中点,
所以=-m或m+3+3=0,
所以m=或m=-6.
答案:或-6
10.一直线过点P(2,0),且点Q到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为 .?
解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90°,
当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,
设过P点的直线为y=k(x-2),
即kx-y-2k=0.
由d==4,解得k=.
所以直线的倾斜角为30°.
答案:90°或30°
11.直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行,则它们间的距离等于 .?
解析:由两直线平行,得=,得m=4,所以两直线可化为6x+4y-6=0,6x+4y+1=0,它们之间的距离d==.
答案:
12.两条直线l1:3x+4y+1=0和l2:5x+12y-1=0相交,则以交点为其顶点的角的平分线所在直线的方程为 .?
解析:设P(x,y)是所求直线上的任意一点,则点P到l1,l2的距离相等,
即=,整理,得所求直线的方程为7x-4y+9=0,
8x+14y+1=0.
答案:7x-4y+9=0,8x+14y+1=0
13.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设P(x0,-)为y=-x2上任意一点,
则由题意得P到直线4x+3y-8=0的距离d==,
所以当x0=时,dmin==.故选A.
14.到两条直线l1:3x-4y+5=0与l2:5x-12y+13=0的距离相等的点P(x,y)必定满足方程( D )
(A)x-4y+4=0
(B)7x+4y=0
(C)x-4y+4=0或4x-8y+9=0
(D)7x+4y=0或32x-56y+65=0
解析:结合图形可知,这样的直线应该有两条,恰好是两条相交直线所成角的平分线.
由公式可得=,
即=±,化简得7x+4y=0或32x-56y+65=0.故选D.
15.已知x+y-3=0,则的最小值为 .?
解析:设P(x,y)在直线x+y-3=0上,A(2,-1),
则=|PA|.
|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d==.
答案:
16.已知△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,则点C的坐标为 .?
解析:设C(x,y),由|AB|=5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4,
又线段AB所在直线方程为3x+4y-17=0.
所以
解得或
所以点C的坐标为(-1,0)或(,8).
答案:(-1,0)或(,8)
17.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,但始终保持平行,如果这两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时两条直线的方程.
解:(1)法一 ①当两条直线的斜率都不存在时,即两条直线分别为x=6和x=-3,
则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率都存在时,设这两条直线方程为
l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),
即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,
所以d==,
即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.
因为k∈R,d>0,且d≠9,
所以Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,
即0综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].
法二 如图所示,显然有0而|AB|==3.
故所求的d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB.
而kAB==,
所以所求直线的斜率均为-3.
故所求的两条直线方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.
课件26张PPT。3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离课标要求:1.掌握点到直线的距离公式.2.能用公式求点到直线的距离.3.会求两条平行直线间的距离.自主学习知识探究1.点到直线的距离
(1)定义
点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.2.点到与坐标轴平行的直线的距离
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|.
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|.
(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d=|y0-b|.
(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.(2)在应用平行直线间的距离公式时要注意前提条件,除了要把直线方程化为一般式之外,还要使x,y的系数分别相等.自我检测(教师备用)1.点A(1,1)到直线3x+4y-2=0的距离为( )AB3.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0A4.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为 .?题型一 求点到直线的距离课堂探究【例1】求点P(3,-2)到下列直线的距离:
(1)y= x+ ; (2)y=6;(3)x=4. 解:(2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1.方法技巧 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.即时训练1-1:(1)已知点A(3,4),B(6,m)到直线3x+4y-7=0的距离相等,则实数m= .?(2)点P(-1,2)到直线3x=2的距离为 .?题型二 两条平行直线间的距离【例2】两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )变式探究:本例中两直线3x+y-3=0与6x+my+n=0平行且距离为 ,则m+n= .?答案:16或-24方法技巧 求两平行线间距离一般有两种方法
(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接用公式d= ,但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别相同.即时训练2-1:若两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于 ,则k的取值范围是( )
(A)[-11,-1]
(B)[-11,0]
(C)[-11,-6)∪(-6,-1]
(D)[-1,+∞)2-2:直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求l1与l2的方程.题型三距离公式的综合应用【例3】(12分)已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.【3-2】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.方法技巧 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后由题意列方程求参数.也可以应用平面几何的有关知识,判断直线l的特征,然后由已知条件写出l的方程.即时训练4-1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积为 .?答案:54-2:若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( )点击进入 课时作业点击进入 周练卷谢谢观赏！
