课件39张PPT。章末总结网络建构一、直线的斜率与倾斜角
【典例1】 (1)求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率.
①A(-2,0),B(-5,3);②A(3,2),B(5,2);③A(3,-1),B(3,3);主题串讲③因为A(3,-1),B(3,3);
所以直线l的倾斜角为90°.(2)已知直线l过点A(2,1),B(m,3),求直线l的倾斜角的范围.规律方法 直线倾斜角和斜率及其关系
(1)倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)倾斜角α与斜率k的对应关系
①α≠90°时,k=tan α;
②α=90°时,k不存在.
(3)倾斜角与斜率的单调性问题
当直线l的倾斜角为α∈[0°,90°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而增大;
当直线l的倾斜角α∈(90°,180°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而减小.二、直线的方程
【典例2】 根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 ;(2)直线过点(5,10),到原点的距离为5;(3)过点A(-5,-4)作直线l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5,求直线l的方程.规律方法 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.三、两条直线的位置关系
【典例3】 已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使:
(1)l1与l2相交于点(m,-1); (2)l1∥l2;解:(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将(m,-1)代入l2的方程,得2m-m-1=0,解得m=1.
所以直线l1的方程为x+8y+n=0,所以n=7.(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.规律方法 两直线平行与垂直的判定
(1)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;l1⊥l2?k1·k2=-1,斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另一个不存在,则两条直线垂直,若k1,k2均不存在,则两直线平行.
(2)当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.即时训练3-1:已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.四、距离问题
【典例4】 已知正方形的中心为(0,-1),其中一条边所在直线的方程为3x+y-2=0.求其他三条边所在直线的方程.即时训练4-1:若倾斜角为45°的直线m被平行线l1:x+y-1=0与l2:x+y-3=0所截得的线段为AB,则AB的长为 .?五、对称问题
【典例5】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.规律方法 求对称直线的方程,可以转化为点对称问题解决或者用相关点转移法解决.即时训练5-1:(2016·浙江杭州高一检测)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )
(A)(-2,4) (B)(-2,-4)
(C)(2,4) (D)(2,-4)六、最值问题
【典例6】 已知A(4,1),B(0,4)两点,在直线l:3x-y-1=0上找一点M,使得||MA|-|MB||的值最大,并求此时点M的坐标及最大值.规律方法 本题是对称问题在求线段和、差的最值上的应用,利用对称问题可以解决类似的两类问题:一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之差||MA|-|MB||最大;一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之和||MA|+|MB||最小,这时还要考虑A,B两点在直线的同侧还是异侧.即时训练6-1:已知0【典例7】 已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.即时训练7-1:设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求a.真题体验1.(2014·四川卷,文9)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )B2.(2013·辽宁卷,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )C3.(2013·湖南卷,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )D答案:85.(2016·上海卷,理3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离 .?6.(2013·四川卷,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),
D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .?答案:(2,4)点击进入 检测试题谢谢观赏！第三章 直线与方程 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若A(-2,3),B(3,-2),C三点共线,则m的值为( A )
(A) (B)- (C)-2 (D)2
解析:由=,得m=,故选A.
2.过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为( A )
(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0
(C)x-2y-7=0 (D)x-2y-4=0
解析:设过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 x-2y+m=0(m≠3),把点(-1,3)代入直线方程得-1-2×3+m=0,m=7,故所求的直线方程为x-2y+7=0.
3.若直线ax+my+2a=0(a≠0)过点(1,-),则此直线的斜率为( D )
(A) (B)-
(C) (D)-
解析:因为直线ax+my+2a=0(a≠0)过点(1,-),
所以a-m+2a=0,
所以a=m,所以这条直线的斜率是k=-=-.
4.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则m的值是( B )
(A)2或3 (B)3 (C)-2 (D)-3
解析:直线的倾斜角是45°,故斜率是1,
即2m2-5m+2=m2-4.且m2-4≠0.
所以m2-5m+6=0,所以m=2或m=3.
但是m=2时m2=4.所以m=3.故选B.
5.两条平行线l1:3x+4y-2=0,l2:ax+6y=5间的距离等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:据题意两直线平行,则-=-?a=,
即l2:x+6y=5,
故l1:9x+12y-6=0,
l2:9x+12y-10=0,
l1与l2间距离d==,故选A.
6.直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在直线3x-y=0上,则k的值为( B )
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2
解析:由题意得三线共点,故可求①的解,
这个解也应该适合2x-3y-k=0,②
解方程组①,得代入②,得k=0.选B.
7.已知直线l1:x+2ay-1=0与l2:(2a-1)x-ay-1=0平行,则a的值是( C )
(A)0或1 (B)1或
(C)0或 (D)
解析:由题
得a=0或a=.故选C.
8.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( A )
(A)(-∞,-4]∪[,+∞)
(B)(-∞,-]∪[,+∞)
(C)[-4,]
(D)[,4]
解析:如图所示,kPB==,
kPA==-4.
当直线l与线段AB相交,
k≤-4或k≥.
故选A.
9.△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,则实数m的值为( D )
(A)-7或3
(B)3或±2
(C)-7或±2
(D)-7或3或±2
解析:△ABC为直角三角形,
①若∠A=90°,
则有kAB·kAC=-1,即·=-1.
所以m=-7.
②若∠B=90°,则有
kBA·kBC=-1,即-·=-1,
所以m-1=2,所以m=3.
③若∠C=90°,则kCB·kCA=-1.
即·=-1.
所以m2-1=3,所以m=±2.故选D.
10.若在直线y=-2上有一点P,它到点A(-3,1)和B(5,-1)的距离之和最小,则该最小值为( B )
(A)2 (B)4
(C)5 (D)10
解析:如图所示,点B(5,-1)关于直线y=-2的对称点B′(5,-3),AB′交y=-2于点P,因为|PB|=|PB′|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PB′|.
其最小值即为|AB′|,即|AB′|==4,故选B.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),在△ABC中,BC边上的中线长为 .?
解析:BC中点为即(-1,2),所以BC边上中线长为=.
答案:
12.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为 .?
解析:若直线l1的倾斜角为,则-a=k=tan =1,故a=-1;若l1⊥l2,则a×1+1×(-1)=0,故a=1;若l1∥l2,则a=-1,l1:x-y+1=0,两平行直线间的距离d==2.
答案:-1 1 2
13.设直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m= 时,l1∥l2;当m= 时,l1⊥l2.?
解析:l1∥l2等价于得m=-1;l1⊥l2?(m-2)+3m=0得m=.
答案:-1
14.函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在mx+ny-1=0(mn>0)上,则A点坐标为 ,+的最小值为 .?
解析:因为函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).
所以把A(1,1)代入直线方程得m+n=1(mn>0).
所以+=(+)·(m+n)=2++≥4(当且仅当m=n=时取等号),
所以+的最小值为4.
答案:(1,1) 4
15.点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是 .直线l过定点 .?
解析:直线l经过定点Q(0,-3),
如图所示,由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,
所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.
答案:2 (0,-3)
16.已知点A(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1)且与线段AB始终有交点,则直线l的斜率k的取值范围为 .?
解析:如图,
因为A(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1),
则kPA=1,kPB==-3,
所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)
17.点M(-1,0)关于直线x+2y-1=0的对称点M′的坐标是 .?
解析:过点M(-1,0)与直线x+2y-1=0垂直的直线方程为2x-y=-2,可解得两垂直直线的交点坐标为N(-,),则点M(-1,0)关于点N(-,)的对称点坐标为M′(-,).
答案:(-,)
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
已知直线l的方程为2x-y+1=0.
(1)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l1的方程;
(2)求与直线l平行,且到点P(3,0)的距离为的直线l2的方程.
解:(1)设l1的方程为x+2y+m=0,
把点A(3,2)代入可得3+2×2+m=0,解得m=-7.
所以直线l1的方程为x+2y-7=0.
(2)设l2的方程为2x-y+c=0(c≠1),
因为点P(3,0)到直线l2的距离为.
所以=,
解得c=-1或-11.
所以直线l2的方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0.
19.(本小题满分15分)
已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.求AB边上的高CE所在直线的方程及△ABC的面积.
解:kAB==-1,而CE⊥AB,
所以kCE·kAB=-1,
所以kCE=1.
因为|AC|=|BC|,
所以E为线段AB的中点,
由线段中点坐标公式可求得E(3,2),
由直线的点斜式方程得直线CE的方程为y-2=x-3,
即x-y-1=0.
由得C(4,3),
所以|AC|=|BC|=2,
又|AB|==2,
所以|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以AC⊥BC,
所以S△ABC=|AC|·|BC|=2.
20.(本小题满分15分)
已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).
(1)求BC边的高所在直线l1的方程;
(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.
解:(1)因为kBC==,则=-=-4,
所以直线l1的方程是y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.
(2)因为直线l2过C点且A,B到直线l2的距离相等,
所以直线l2与AB平行或过AB的中点M,
当l2∥AB时,kAB==-1,
所以直线l2的方程是y=-(x-3)+4,即x+y-7=0,
当l2过AB中点时,因为AB的中点M的坐标为(0,2),
所以kCM==,所以直线l2的方程是y=(x-3)+4,即2x-3y+6=0,
综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.
21.(本小题满分15分)
光线从点A(2,3)射入,若镜面的位置在直线l:x+y+1=0上,反射光线经过B(1,1),求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从A到B所走过的路线长.
解:设点A关于直线l的对称点为A′(x0,y0),
因为AA′被l垂直平分,
所以解得
因为A′(-4,-3),B(1,1)在反射光线所在直线上,
所以反射光线的方程为=,
即4x-5y+1=0.
解方程组
得入射点的坐标为.
由入射点及点A的坐标得入射光线方程为=,即5x-4y+2=0.
故光线从A到B所走过的路线长为
|A′B|==.
22.(本小题满分15分)
已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
解:(1)直线l2:2x-y-=0,
所以两条平行线l1与l2间的距离为d==,
所以=,
即|a+|=,又a>0,解得a=3.
(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,且=×,即c=或,
所以直线l′的方程为2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,有=×,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,
所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;
由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,
解得(舍去);
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,
解得
所以存在点P(,)同时满足三个条件.
