3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( D )
(A) (B)a
(C)- (D)-或不存在
解析:若a=0,则l2的斜率不存在;
若a≠0,则l2的斜率为-.故选D.
2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列说法:
(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;
(3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.
其中正确说法的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:需考虑两条直线重合的特殊情况,(2),(4)都可能是两条直线重合,(1),(3)正确.
3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行,则m的值为( B )
(A) (B)或1
(C)1 (D)-1
解析:由题知kAB=2,
即==2,
整理得2m2-3m+1=0,
解得m=或m=1.
4.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C )
(A)-30° (B)30° (C)150° (D)120°
解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.
5.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形
解析:如图所示,易知kAB==-,kAC==,由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形,故选C.
6.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD的形状是( D )
(A)平行四边形 (B)矩形
(C)菱形 (D)直角梯形
解析:因为kAB==,
kCD==,
kAD==-3,
kBC==-,
所以AB∥CD,AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.
7.已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lox等于( D )
(A)3 (B) (C)2 (D)-
解析:由题意得=2,得x=3,所以lo3=-.
8.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )
(A)(0,-6) (B)(0,7)
(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)
解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.
又kAP=,kBP=,kAP·kBP=-1,
即·(-)=-1,
解得y=-6或y=7.
所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.
9.直线l平行于经过两点A(-4,1)和B(0,-3)的直线,则直线l的倾斜角是 .?
解析:直线l的斜率k==-1,
所以倾斜角为135°.
答案:135°
10.已知直线l1的斜率k1=3,直线l2过点A(3,-1),B(4,y),C(x,2),且l1∥l2,则x= ,y= .?
解析:由题知解得
答案:4 2
11.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在BC的高所在的直线上,则实数m= .?
解析:由题意知kAD·kBC=-1,
即×=-1,解得m=.
答案:
12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则给出下面四个结论:
①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确结论的序号是
.?
解析:因为kAB=-,kCD=-,kAC=,kBD=-4,
所以kAB=kCD,kAC·kBD=-1,所以AB∥CD,AC⊥BD.
答案:①④
13.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:
(1)倾斜角为135°;
(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;
(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.
解:(1)由kAB==-1,解得m=-或1.
(2)显然m≠0,由kAB=,且=3,
得=-,解得m=或-3.
(3)令==-2,解得m=或-1.
14.已知△ABC的顶点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,试求m的值.
解:kAB==-,kAC==-,kBC==m-1.
若AB⊥AC,则有-·(-)=-1,所以m=-7;
若AB⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=3;
若AC⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=±2.
综上可知,所求m的值为-7,±2,3.
15.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
解:由斜率公式得kOP==t,
kQR===t,kOR==-,
kPQ===-.
所以kOP=kQR,kOR=kPQ,
从而OP∥QR,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.
16.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,有O,A,B,C四点共圆,那么y的值是( B )
(A)19 (B) (C)5 (D)4
解析:由题意知AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即×=-1,解得y=,故
选B.
17.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有 ( C )
(A)b=a3
(B)b=a3+
(C)(b-a3)(b-a3-)=0
(D)|b-a3|+|b-a3-|=0
解析:若以O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;若∠A=,则b=a3≠0.若∠B=,根据垂直关系可知a2·
=-1,所以a(a3-b)=-1,即b-a3-=0.以上两种情况皆有可能,只有C满足条件.故选C.
课件27张PPT。3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课标要求:1.理解两条直线平行或垂直的条件.2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直.自主学习知识探究1.特殊情况下的两条直线平行的判定
若两条直线中有一条直线没有斜率,则当另一条直线也没有斜率时,即两直线的倾斜角都为90°时,它们互相平行.2.两条直线的斜率都存在时,两条直线平行的判定设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,如果l1∥l2(如图),那么它们的倾斜角相等,即α1=α2.所以tan α1=tan α2,所以k1=k2.
反过来,如果两条直线的斜率相等,即k1=k2,那么tan α1=tan α2.
由于0°≤α1<180°(α1≠90°),0°≤α2<180°(α2≠90°),所以α1=α2.
又两条直线不重合,所以l1∥l2.
综上可知,两条直线都有斜率而且不重合时,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即 .l1∥l2?k1=k2 注意:(1)l1∥l2?k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合.
(2)k1=k2?l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在).
(3)l1∥l2?k1=k2或两条直线的斜率都不存在.
(4)在判断两条不重合的直线是否平行时,首先判断两条直线的斜率是否存在,若存在且相等,则两者平行;若斜率都不存在,两者仍然平行.3.特殊情况下的两条直线垂直的判定若两条直线中有一条直线没有斜率,则当另一条直线的斜率为0时,即一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°时,两条直线互相垂直.4.两条直线的斜率存在时,两条直线垂直的判定设两条直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2.
如果l1⊥l2,这时α1≠α2;否则α1=α2,则l1∥l2,与l1⊥l2相矛盾.
设α2<α1(如图),
图(1)的特征是l1与l2的交点在x轴上方;
图(2)的特征是l1与l2的交点在x轴下方;
图(3)的特征是l1与l2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有α1=90°+α2.注意:(1)l1⊥l2?k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0.
(2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴,而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时,若有两条直线的垂直关系,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.自我检测(教师备用)1.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )
(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10BB2.直线l1过A(-1,m),B(m,1),l2过C(-1,1),D(1,0),且l1⊥l2,则m的值为( )3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形C4.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .?答案:25.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .?题型一 两条直线的平行关系课堂探究【1-2】 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3);(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.即时训练1-1:(1)下列各对直线互相平行的是( )
(A)直线l1经过A(0,1),B(1,0),直线l2经过M(-1,3),N(2,0)
(B)直线l1经过A(-1,-2),B(1,2),直线l2经过M(-2,-1),N(0,-2)
(C)直线l1经过A(1,2),B(1,3),直线l2经过C(1,-1),D(1,4)
(D)直线l1经过A(3,2),B(3,-1),直线l2经过M(1,-1),N(3,2)答案:(1)A (2)已知?ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 .?答案:(2)(3,4)题型二 两条直线的垂直关系【例2-1】 判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(-3,-4),B(1,3),l2经过点M(-4,-3),N(3,1);(2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
(3)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40).【2-2】 直线l1过点(2m,1),(-3,m),直线l2过点(m,m),(1,-2),若l1与l2垂直,求实数m的值.方法技巧 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则将点的坐标代入斜率公式.
(2)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.
总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1⊥l2;l1与l2斜率都存在时,满足k1·k2=-1.即时训练2-1:已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),
C(3,2),则第四个顶点的坐标为 .?答案:(2,3)2-2:已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.题型三 直线平行与垂直关系的应用【例3】 已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).方法技巧 平行与垂直是平面几何中非常重要的位置关系,由于可以利用斜率来判断两条直线平行或垂直,所以我们可以通过两条直线平行或垂直的条件解决平面几何图形形状的有关问题,要注意斜率存在和不存在.即时训练3-1:已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,
B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.点击进入 课时作业谢谢观赏！
