3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
1.直线y=-x-1的倾斜角与其在y轴上的截距分别是( D )
(A)135°,1 (B)45°,-1
(C)45°,1 (D)135°,-1
解析:直线y=-x-1的斜率k=-1,故其倾斜角是135°,其截距是-1.
选D.
2.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是( A )
(A)y+3=x-2 (B)y-3=x+2
(C)y+2=x-3 (D)y-2=x+3
解析:因为直线l的斜率k=tan 45°=1,
所以直线l的方程为y+3=x-2.故选A.
3.已知直线的斜率是2,在y轴上的截距是-3,则此直线方程是( A )
(A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0
(C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0
解析:由直线方程的斜截式得方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.
4.经过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是( C )
(A)x+y+3=0 (B)x-y+5=0
(C)x+y-3=0 (D)x+y-5=0
解析:过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为=-1.所求的直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.
5.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( C )
解析:由y=ax的斜率大小与y=x+a在y轴上截距大小相同,排除A,B,当y=ax斜率为负数时,y=x+a在x轴上截距为正数,故选C.
6.已知直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a的值是( D )
(A)± (B)±1 (C)1 (D)-1
解析:由于直线l1与直线l2平行,故有a2-2=-1.
所以a2=1.解得a=±1.
当a=1,l1:y=-x+2,l2:y=-x+2,重合;
当a=-1,l1:y=-x-2,l2:y=-x+2,平行.选D.
7.已知三角形的三个顶点A(4,3),B(-1,2),C(1,-3),则△ABC的高CD所在的直线方程是( A )
(A)5x+y-2=0 (B)x-5y-16=0
(C)5x-y-8=0 (D)x+5y+14=0
解析:△ABC的高CD与直线AB垂直,
故有直线CD的斜率kCD与直线AB的斜率kAB满足kCD·kAB=-1
kAB==,所以kCD=-5.
直线CD过点C(1,-3),故其直线方程是y+3=-5(x-1)
整理得5x+y-2=0,选A.
8.若过点P(-2,1)与Q(4,a)的直线垂直于直线l:y=2x+3,则a的值为( B )
(A)2 (B)-2
(C) (D)-
解析:因为过点P(-2,1)与Q(4,a)的直线垂直于直线l:y=2x+3,所以kPQ·kl=-1,又因为kl=2,所以kPQ=-,即=-.解得a=-2.故选B.
9.已知一直线过点P(0,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等,则该直线方程是 .?
解析:因直线y=-2x+3的斜率为-2,故由点斜式可得直线方程y-2=-2x,即y=-2x+2.
答案:y=-2x+2
10.直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍,那么直线l的方程是 .?
解析:直线y=x+2的倾斜角是45°,从而直线l的倾斜角是90°,其斜率k不存在,直线l的方程是x=1.
答案:x=1
11.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点 .?
解析:将直线方程变形为y-2=a(x-3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).
答案:(3,2)
12.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是 .?
解析:如图所示,直线l的倾斜角是60°或120°,斜率是或-,又直线在y轴上的截距是-6,故所求直线方程是y=x-6或y=-x-6.
答案: y=x-6或y=-x-6
13.求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;
(2)经过点A(5,-2),且与y轴平行;
(3)过A(-2,3),B(5,-4)两点;
(4)经过点(0,-2)且与直线y=3x-5垂直.
解:(1)直线的斜率k=tan 135°=-1,由点斜式方程得y-4=-(x+1),即x+y-3=0.
(2)由题意可知斜率k不存在,故直线方程为x=5.
(3)由题意可得过点A(-2,3),B(5,-4)两点的直线斜率kAB===-1.
又因为直线过点A(-2,3),所以由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
(4)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-.
又直线过点(0,-2),得y=-x-2,即x+3y+6=0.
14.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(,-1);
(2)在y轴上的截距是-5.
解:因为直线y=-x+1的斜率k=-,
所以其倾斜角α=120°.
由题意得所求直线的倾斜角α1=α=30°,
故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
(1)因为所求直线经过点(,-1),斜率为,
所以所求直线方程是y+1=(x-),
即x-3y-6=0.
(2)因为所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,
所以所求直线的方程为y=x-5,
即x-3y-15=0.
15.求经过点A(-2,2),并且和x轴的正半轴,y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.
解:因为直线的斜率存在且不为0,所以设直线方程为y-2=k(x+2),令x=0,得y=2k+2,令y=0,得x=-,
由2k+2>0,->0,得-1整理得2k2+5k+2=0,解得k=-2或k=-,因为-116.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为( A )
(A)y=-x+ (B)y=-x+1
(C)y=3x-3 (D)y=3x+1
解析:因为直线y=3x绕原点逆时针旋转90°的直线为y=-x,从而C,D不正确.又将y=-x向右平移1个单位得y=-(x-1),即y=-x+.故
选A.
17.直线y=ax+的图象可能是( C )
解析:因为a≠0,所以当a>0时,>0,当a<0时,<0,A,B,D均错;C符合题意.故选C.
18.在直线方程y=kx+b中,当x∈[-3,4]时,恰好y∈[-8,13],则此直线方程为 .?
解析:方程y=kx+b,即一次函数y=kx+b,由一次函数单调性可知,
当k>0时,函数为增函数,所以解得
当k<0时,函数为减函数,所以解得
综上可知该直线方程为y=3x+1或y=-3x+4.
答案:y=3x+1或y=-3x+4
19.过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 .?
解析:依题意设l的方程为y+3=k(x-4).令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=.
因此-4k-3=.解得k=-1或k=-.
故所求方程为y=-x+1或y=-x.
答案:y=-x+1或y=-x
20.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明:法一 将直线方程变形为y=ax+,
当a>0时,则不论a取何值,直线一定经过第一象限;
当a=0时,y=,直线显然经过第一象限;
当a<0时,>0,因此直线经过第一象限.
综上,直线5ax-5y-a+3=0一定经过第一象限.
法二 直线方程可变形为y-=a(x-),它表示经过点A(,),斜率为a的直线.
因为点A(,)在第一象限,
所以直线l必过第一象限.
(2)解:如图,由法二知,直线OA的斜率kOA==3.
因为直线l不过第二象限,所以直线l的斜率k≥3,
所以a≥3,即a的取值范围为[3,+∞).
课件30张PPT。3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程课标要求:1.了解直线的点斜式方程的推导过程.2.掌握直线的点斜式方程并会应用.3.掌握直线的斜截式方程,了解截距的概念.自主学习知识探究1.直线的点斜式方程的定义
已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线l的方程为 .
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的,因此称为直线的点斜式方程,简称点斜式.
注意:点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则直线的方程不能用点斜式表示.y-y0=k(x-x0)2.点斜式方程的特殊情形
(1)当直线l的倾斜角为0°时(如图1),tan 0°=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程就是 .y-y0=0或y=y0(2)当直线l的倾斜角为90°时(如图2),直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或垂直,它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是 .x-x0=0或x=x0注意:(1) =k与y-y0=k(x-x0)是不同的,前者表示的直线上缺少一个点P0(x0,y0),后者才表示整条直线.
(2)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0.
3.直线的斜截式方程
我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
如果直线l的斜率为k, 且在y轴上的截距为b, 则方程为y-b=k(x-0),即
,叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0且b≠0时,y=b表示与x轴平行的直线;当k=0且b=0时,y=0表示与x轴重合的直线.y=kx+b注意:(1)直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0=0时的特殊情况,斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
(2)斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,故一次函数y=kx+b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程.
(3)纵截距不是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、零或负数.当直线l与y轴正半轴相交时,截距b>0,但并非所有的直线都与y轴有交点,当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.(4)由于有些直线没有斜率,即有些直线在y轴上没有截距,所以并非所有直线都可以用斜截式表示.当直线与x轴垂直时,直线不能用斜截式表示,这时其方程可以表示为x=x1(x1为直线与x轴交点的横坐标).
(5)方程y=kx+b中,y的系数是1,x的系数是k,常数项是b.k,b有明显的几何意义,其中k是直线的斜率,b是直线与y轴交点的纵坐标,即在y轴上的截距.自我检测(教师备用)1.过点P(2,-1),斜率为 的直线的点斜式方程为( )CC3.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( )
(A)直线经过点(-1,2),斜率为-1
(B)直线经过点(2,-1),斜率为-1
(C)直线经过点(-1,-2),斜率为-1
(D)直线经过点(-2,-1),斜率为1C解析:直线方程可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1.故选C.4.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 .?答案:y=-3x+25.若直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2垂直,则直线l的方程为 .?题型一 直线的点斜式方程课堂探究【1-2】 已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:
(1)AB所在直线的方程;解析:(1)如图所示,直线AB过点(1,1)且与x轴平行,故AB所在直线方程是y=1.(2)AC边与BC边所在直线的方程.误区警示 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0.即时训练1-1:已知三角形的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.题型二 直线的斜截式方程【例2】写出下列直线的斜截式方程:
①直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;
②直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2.【2-2】 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.解:由题知,直线l与l1平行,所以直线l的斜率为-2,直线l与l2在y轴上的截距相同,故在y轴上的截距是-2,由斜截式方程知l的方程为y=-2x-2.变式探究:若将本例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?方法技巧 直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.即时训练2-1:根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为30°,在y轴上的截距是-2;解:(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5.(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.题型三平行与垂直的应用【例3】 (1)当a为何值时,直线l1:y=-2x+2a与直线l2:y=(a2-3a)x+2平行,垂直;(2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程.方法技巧 设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+b1,
l2:y=k2x+b2,那么①l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;②k1=k2且b1=b2?两条直线重合;③l1⊥l2?k1·k2=-1.即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直角三角形.
(1)求a;(2)求直线AB的方程.点击进入 课时作业谢谢观赏！
