3.2.2 直线的两点式方程
1.点A(4,m)关于点B(n,-3)的对称点为C(6,-9),则( D )
(A)m=-3,n=10 (B)m=3,n=10
(C)m=-3,n=5 (D)m=3,n=5
解析:由中点坐标公式?故选D.
2.下列四个命题中的真命题是( B )
(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示
(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.
3.已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为( A )
(A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0
(C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0
解析:由两点式得直线l的方程为=,即y+2=-(x-1).故选A.
4.直线+=1与x,y轴所围成的三角形的周长等于( B )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)60
解析:直线+=1与两坐标轴交于A(3,0),B(0,4),所以AB=5,所以
△AOB的周长为OA+OB+AB=3+4+5=12.故选B.
5.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( A )
(A)- (B)- (C) (D)2
解析:由直线的两点式方程可得直线方程为=,即2x-y+3=0,令y=0得x=-.故选A.
6.已知△ABC的三个顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( A )
(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0
(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0
解析:由中点坐标公式知M(2,4),N(3,2),由两点式方程知MN所在的直线方程为2x+y-8=0.故选A.
7.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的哪一个( B )
解析:由-=1,得y=x-n;由-=1,得y=x-m,即k1与k2同号且互为倒数.故选B.
8.已知不同的两点P(a,b)与Q(b+1,a-1)关于直线l对称,则直线l的方程为( C )
(A)y=x-2 (B)y=x+2
(C)y=x-1 (D)y=x+3
解析:由题意知,a≠b+1,直线PQ的斜率kPQ==-1,故直线l的斜率为1,
又线段PQ的中点(,)应在直线l上,只有C满足.
9.点M(4,1)关于点N(2,-3)的对称点P的坐标为 .?
解析:设P(x,y),则所以
故点P的坐标为(0,-7).
答案:(0,-7)
10.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m= .?
解析:直线方程可化为-=1,
所以-×4=3,所以m=-.
答案:-
11.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为 .?
解析:令x=0,得y=,令y=0,得x=,
所以S=||·||=.
答案:
12.直线l过点(3,2),且在两坐标轴上截距相等,则直线l的方程为 .?
解析:当直线l过原点,则l的方程为2x-3y=0;
当直线l不过原点,设l的方程为+=1,
由题意得+=1,得a=5,
所以l的方程为x+y-5=0,
所以l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
答案:2x-3y=0或x+y-5=0
13.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).
(1)求边AB所在的直线方程;
(2)求中线AD所在直线的方程.
解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k==2.
它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.
(2)B(1,5)、C(3,-5),=2,=0,
所以BC的中点D(2,0).
由截距式得中线AD所在的直线的方程为+=1.
14.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.
解:因为A、B两点纵坐标不相等,
所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD,
所以CD与x轴不垂直,-m≠3,即m≠-3.
①当AB与x轴垂直时,
-m-3=-2m-4,
解得m=-1.
而m=-1时C、D纵坐标均为-1,
所以CD∥x轴,
此时AB⊥CD,满足题意.
②当AB与x轴不垂直时,由斜率公式
kAB==,
kCD==.
因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,
即·=-1,解得m=1,
综上m的值为1或-1.
15.已知△ABC中A(-8,2),AB边上中线CE所在的直线方程为x+2y-5=0,AC边上中线BD所在的直线方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程.
名师点拨:△ABC的AB边上的中线一定经过其中点,而中点的坐标可以用A,B的坐标表示.
解:如图所示.
设B(x1,y1),则E(,),
从而有点B在直线BD上,点E在直线CE上,
故可得方程组解得
从而B(6,4).
设C(x2,y2),则D(,),
同理可得方程组解得从而C(5,0).
故有直线BC的方程是4x-y-20=0.
16.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么b的取值范围是( C )
(A)[-2,2] (B)(-∞,-2]∪[2,+∞)
(C)[-2,0)∪(0,2] (D)(-∞,+∞)
解析:因为直线x-2y+b=0在两坐标轴上的截距分别为-b和,所以该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=|-b|·||=b2,所以b2≤1,所以b2≤4,即b∈[-2,2].又因为b=0时,该直线与两坐标轴围不成三角形,所以b≠0,所以b的取值范围为[-2,0)∪(0,2].故选C.
17.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC所在直线的方程为( A )
(A)5x-2y+7=0 (B)2x-5y+7=0
(C)5x+2y-7=0 (D)2x+5y-7=0
解析:点A(-3,4)关于x轴的对称点A′(-3,-4)在反射光线所在的直线上,所以所求直线为=,即5x-2y+7=0.故选A.
18.经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .?
解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得=,
即x-(a-1)y+3a-4=0.
这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
答案:x-(a-1)y+3a-4=0
19.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为 .?
解析:因为直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),
所以a+b=ab,即+=1,
所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时上式等号成立.所以直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
答案:4
20.直线l过点P(,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)当△AOB的周为12时,求直线l的方程;
(2)当△AOB的面积为6时,求直线l的方程.
解:(1)设直线l:y-2=k(x-),
则k<0,
A(-,0),B(0,2-k).
则-+2-k+=12.
=++,
得32k2+84k+45=0,
k=-或k=-.
直线方程为y-2=-(x-)或y-2=-(x-)
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
(2)由(1)当面积为6时,
S=×(-)(2-k)=6,
得8k2+30k+18=0,得k=-3或k=-.
直线方程为y-2=-3(x-)或y-2=-(x-),
即3x+y-6=0或3x+4y-12=0.
课件30张PPT。3.2.2 直线的两点式方程课标要求:1.了解直线方程的两点式的推导过程.2.会利用两点式求直线的方程.3.掌握直线方程的截距式,并会应用.自主学习知识探究1.直线的两点式方程
如图,若直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则直线l的方程可写成 = ,把它叫做直线的两点式方程,简称两点式.注意:(1)直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2,y1≠y2,故直线的斜率不存在或斜率为零时,不能用两点式表示直线方程.
(2)直线的两点式方程的表示与P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的选取及这两点的顺序都无关.3.直线的截距式方程
(1)直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.注意:(1)截距式方程的条件是a≠0,b≠0,即有两个非零截距,截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示与坐标轴平行的直线.自我检测(教师备用)1.在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( )AB 3.直线l过点A(-1,-1)和B(2,5),且点C(1 007,b)为直线l上一点,则b的值为( )
(A)2 013 (B)2 014 (C)2 015 (D)2 016C4.已知M(-1,2),N(3,-4),线段MN的中点坐标是 .?答案:(1,-1)5.直线2x+3y-6=0与坐标轴围成的三角形面积为 .?答案:3题型一 直线的两点式方程课堂探究【例1】 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.方法技巧 求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.即时训练1-1:已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,
(1)求BC边的方程;(2)求BC边上的中线所在直线的方程.题型二 直线的截距式方程【例2】(12分)已知直线l经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.变式探究:将本例中的“截距相等”改为“截距互为相反数”,如何?方法技巧 利用截距式求直线方程的策略
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可;(2)选用截距式求直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时,采用截距式求直线方程,要注意考虑“零截距”的情况.即时训练2-1:已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点(6,-2),求直线l的方程. 2-2:求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.题型三直线方程的应用【例3】直线过点P( ,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.方法技巧即时训练3-1:过点P(1,3),且与x轴,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l方程为 . 答案:3x+y-6=03-2:已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为 ,则直线l的方程为 .?点击进入 课时作业谢谢观赏！
