2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课后篇巩固探究
1.四边形ABCD中,AB=DC,且|AD?AB|=|AD+AB|,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析由于AB=DC,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.
答案C
2.
已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中OA=a,OB=b,OC=c,则EF=( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
解析EF=CB=OB?OC=b-c.
答案D
3.下列不能化简为PQ的是( )
A.QC?QP+CQ B.AB+(PA+BQ)
C.(AB+PC)+(BA?QC) D.PA+AB?BQ
解析D项中,PA+AB?BQ=PB?BQ≠PQ,故选D.
答案D
4.
如图,点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则 ( )
A.AD+BE+CF=0
B.BD?CE+DF=0
C.AD+CE?CF=0
D.BD?BE?FC=0
解析因为AD+BE+CF=AD+DF+FA=0,所以A项正确.
答案A
5.平面上有三点A,B,C,设m=AB+BC,n=AB?BC,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析如图,因为m,n的长度相等,
所以|AB+BC|=|AB?BC|,即|AC|=|BD|,
所以ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
答案C
6.若四边形ABCD为正方形,且边长为2,则|AB?CB+CD|= .?
解析|AB?CB+CD|=|AB+(CD?CB)|=|AB+BD|=|AD|=2.
答案2
7.
如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,OA=a,OB=b,OC=c,则OD= .?
解析由已知得AD=BC,
则OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC?OB=a+c-b.
答案a+c-b
8.
如图,在正六边形ABCDEF中,与OA?OC+CD相等的向量有 .?
①CF;②AD;③BE;
④DE?FE+CD;⑤CE+BC;
⑥CA?CD;⑦AB+AE.
解析因为四边形ACDF是平行四边形,
所以OA?OC+CD=CA+CD=CF,DE?FE+CD=CD+DE+EF=CF,CE+BC=BC+CE=BE,CA?CD=DA.
因为四边形ABDE是平行四边形,
所以AB+AE=AD.
综上知与OA?OC+CD相等的向量是①④.
答案①④
9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .?
解析如图,在平面内任取一点A,作AD=a,AB=b,以AD,AB为邻边作?ABCD,
则AC=a+b,BD=a-b.
由题意,知|AB|=|BD|=2,|AD|=1.
过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
因为AB=BD=2,所以AE=ED=12AD=12.
在Rt△ABE中,cos∠EAB=AEAB=14.
易知∠CBF=∠EAB,所以cos∠CBF=14.
所以BF=BC·cos∠CBF=1×14=14.
所以CF=154.
所以AF=AB+BF=2+14=94.
在Rt△AFC中,AC=AF2+CF2=8116+1516=6,所以|a+b|=6.
答案6
10.
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且|AB|=|AD|=1,OA+OC=OB+OD=0,cos∠DAB=12,求|DC+BC|与|CD+BC|.
解∵OA+OC=OB+OD=0,
∴OA=CO,OB=DO.
∴四边形ABCD为平行四边形.
又|AB|=|AD|=1,
∴?ABCD为菱形.
∵cos∠DAB=12,∠DAB∈(0,π),
∴∠DAB=π3,∴△ABD为正三角形.
∴|DC+BC|=|AB+BC|=|AC|=2|AO|=3,
|CD+BC|=|BD|=|AB|=1.
11.如图,在?ABCD中,AB=a,AD=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直?
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
解(1)AC=AB+AD=a+b,DB=AB?AD=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,
故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为?ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
课件25张PPT。2.2.2 向量减法运算及其几何意义一二自主检测一、相反向量
1.方向相同或相反的两个向量称为什么向量?方向相同,模相等的两个向量称为什么向量?
提示方向相同或相反的两个向量叫做共线向量,方向相同,模相等的两个向量称为相等向量.
2.填空:一二3.做一做:如图,ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是 ( )答案C 自主检测一二二、向量的减法及其运算法则
1.在实数的运算中,减去一个数,等于加上它的相反数,那么向量的减法运算能否转化为向量的加法运算呢?
提示减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2.已知两个力的合力为F,其中一个力为F1,如何求另一个力F2(如图)?
?
?
?
?
提示可用三角形法则,由F1的终点指向F的终点的向量即为F2.自主检测一二3.填空: 自主检测一二4.做一做:如图,在正方形ABCD中,对角线相交于点O,则有:自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)方向相反的向量就是相反向量. ( )
(2)相反向量一定是共线向量. ( )
(3)相反向量的模一定相等. ( )
(4)向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算. ( )
(5)同起点的两个向量的差向量的方向由被减向量指向减向量. ( )
(6)|a-b|<|a+b|. ( )(8)若a-c=b-d,则a+d=b+c. ( )
(9)若|a|=|b|,则a=b或a=-b. ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√ (9)×自主检测探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析向量的减法运算
例1 化简下列各向量的表达式:分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时,必须保证两个向量的起点相同.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟向量加减法化简的两种形式:
(1)首尾相连且为和;
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析向量减法运算的几何意义 (2)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是矩形?
(3)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是菱形?分析结合向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则进行分析求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析 反思感悟要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确的表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析延伸探究结合本例图形分析,若a,b都是非零向量,则a+b与a-b有可能是相等向量吗?
解(1)当a,b不是共线向量时,由本例图形可知,a+b与a-b是平行四边形的两条对角线对应的向量,二者不可能相等;
(2)当a,b是共线向量时,同样可以按照平行四边形法则或三角形法则,作出a+b,a-b,发现它们不可能相等.
综上,若a,b都是非零向量,则a+b与a-b不可能是相等向量.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析向量加减法的综合运用
A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0
C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0
答案:A
反思感悟对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是:先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练2如图,解答下列各题: 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形,所以AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析方法技巧1.用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.
(2)化归为向量问题,进行向量运算.
(3)将向量问题还原为平面几何问题.
2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析错用向量减法运算法则致误
典例 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析防范措施减法口诀:始点相同,连接终点,箭头指向被减向量.应把首尾相接的放在一起计算,始点相同的放在一起计算.必要时,可画出图象,结合图象观察将使问题更为直观.123451.若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法错误的是( )
A.a∥b B.a≠b
C.|a|≠|b| D.b=-a
解析根据相反向量的定义:大小相等,方向相反,可知|a|=|b|.
答案C12345答案B 123453.如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是( )答案C 1234512345
