2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后篇巩固探究
基础巩固
1.下列说法正确的个数为( )
①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.
答案B
2.1312(2a+8b)-(4a-2b)等于( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
解析原式=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.
答案B
3.在△ABC中,D是线段BC的中点,且AB+AC=4AE,则( )
A.AD=2AE B.AD=4AE
C.AD=2EA D.AD=4EA
解析由已知得AB+AC=2AD,所以AD=2AE.
答案A
4.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则 ( )
A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线
C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线
解析因为BD=BC+CD=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB=BD.
又AB与BD有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
答案D
5.已知向量a与b不共线,AB=a+mb,AC=na+b(m,n∈R),则AB与AC共线的条件是( )
A.m+n=0 B.m-n=0
C.mn+1=0 D.mn-1=0
解析由AB=a+mb,AC=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a与b不共线,
∴1=λn,m=λ,即mn-1=0,故选D.
答案D
6.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是 .?
解析由已知得AB=-57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,又知|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.
答案等腰梯形
7.
在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则AE= ?AB+ ?AD.
解析BC=BA+AD+DC=-23AB+AD,AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(AD?23AB)=23AB+12AD.
答案23 12
8.在△ABC中,点M为边AB的中点,若OP∥OM,且OP=xOA+yOB(x≠0),则yx= .?
解析∵M为AB的中点,∴OM=12(OA+OB).
又OP∥OM,∴存在实数λ,使OP=λOM,
∴OP=λ2(OA+OB)=λ2OA+λ2OB,
∴x=y=λ2,
∴yx=1.
答案1
9.
如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.
证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,
∴AB=AM+AC.
∴AM=AB?AC=CB.
同理可证明AN=AC?AB=BC.
∴AM=-AN.
∴AM,AN共线,又AM与AN有公共点A.
∴M,A,N三点共线.
10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b?a-23b+(2b-a);
(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+-1+23+2b=-53a+53b.
∵a=3i+2j,b=2i-j,
∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103i+-103-53j=-53i-5j.
(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,
∴x=111a+211b.
∴y=3x-b=3111a+211b-b=311a-511b.
能力提升
1.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=( )
A.a-12b
B.12a-b
C.a+12b
D.12a+b
解析由已知易得四边形AODC为菱形,
所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b.
答案D
2.已知点P是△ABC内的一点,AP=13(AB+AC),则△ABC的面积与△PBC的面积之比为( )
A.2 B.3 C.32 D.6
解析设BC的中点为D,则AB+AC=2AD.
∵AP=13(AB+AC)=23AD,
如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点P作PF⊥BC,交BC于点F,
则|PF||AE|=|PD||AD|=13.
∴S△ABCS△PBC=12|BC|·|AE|12|BC|·|PF|=3.
答案B
3.已知OM=23OA+13OB,设AM=λAB,则实数λ的值为 .?
解析因为OM=23OA+13OB,所以23OM+13OM=23OA+13OB,于是23OM?23OA=13OB?13OM,即23AM=13MB,所以AM=12MB,所以AM=13AB,故λ=13.
答案13
4.在平行四边形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .?
解析由平面向量的加法运算,有AC=AB+AD.
因为AC=λAE+μAF=λ(AD+DE)+μ(AB+BF)=λAD+13AB+μAB+12AD
=λ3+μAB+λ+μ2AD.
所以AB+AD=λ3+μAB+λ+μ2AD,
即λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得λ=35,μ=45,故λ+μ=75.
答案75
5.在△ABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且CM=tCP,求t的值.
解∵CP=23CA+13CB,
∴3CP=2CA+CB,即2CP-2CA=CB?CP.
∴2AP=PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
∴设CM=xCQ+(1-x)CA=x2CB+(x-1)AC,
又CB=AB?AC,∴CM=x2AB+x2-1AC.
又CP=AP?AC=13AB?AC,且CM=tCP,
∴x2AB+x2-1AC=t13AB-AC.
∴x2=t3,x2-1=-t,解得t=34.
6.已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.
(1)用向量a与b表示向量OC;
(2)若OE=35OA,判断C,D,E是否共线,并说明理由.
解(1)∵AB=a,AO=b,点A是BC的中点,
∴AC=-a.
∴OC=OA+AC=-a-b.
(2)假设存在实数λ,使CE=λCD.
∵CE=CO+OE=a+b+35(-b)=a+25b,
CD=CB+BD=CB+13BO
=CB+13(BA+AO)
=2a+13(-a+b)=53a+13b,
∴a+25b=λ53a+13b,
∴53λ=1,13λ=25,此方程组无解,
∴不存在实数λ,满足CE=λCD.∴C,D,E三点不共线.
课件40张PPT。2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一二三四一、向量的数乘运算
1.如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系.自主检测一二三四2.填空: 自主检测一二三四自主检测一二三四二、数乘运算的运算律
1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
提示各式均是成立的(如图).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.自主检测一二三四2.填空:数乘向量的运算律
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.答案C 自主检测一二三四三、共线向量定理
1.若a是非零向量,则λa与a有什么关系?如果b∥a(a≠0),那么b=λa是否成立?
提示λa与a是共线向量;如果b∥a(a≠0),那么b=λa一定成立.
2.填空:共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
3.关于共线向量定理的说明:
(1)定理中,向量a为非零向量,即定理不包含0与0共线的情况.
(2)条件a≠0是必须的.否则当a=0,b≠0时,虽然b与a共线,但不存在实数λ,使得b=λa;当a=0,b=0时,λ可以是任意实数.
(3)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.
(4)若b=λa(λ∈R),则a与b共线.自主检测一二三四?自主检测一二三四四、向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.自主检测一二三四判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量. ( )
(2)向量λa与a的方向不是相同就是相反. ( )
(3)若向量a和b共线,则必有b=λa. ( )
(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0. ( )
(5)若向量 共线,则A,B,C,D四点共线. ( )
(6)实数与向量既可以相乘,也可以相加减. ( )
(7)向量a与b共线,当且仅当有唯一一个实数x,使b=xa. ( )
(8)若m=3a+4b,n= a+2b,则m∥n. ( )
答案(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√自主检测探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析向量的线性运算
例1 (1)化简下列各向量表达式:分析(1)根据向量的线性运算法则求解;(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练 1已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a= ,b= .?探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析共线向量定理及其应用
角度1 向量共线的判定
例2 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).解(1)∵b=-2a,∴a与b共线.
(2)∵a= b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 用已知向量表示未知向量 答案C 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3 证明三点共线问题 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
2.若A,B,C三点共线,则向量 在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度4 求参问题 答案:D 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析答案C 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析向量线性运算的综合应用
角度1 判断三角形的形状答案直角三角形 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 求解三角形的面积比 解析如图所示,取AB的中点D,连接OD. 则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等,
∵OC边为公共边,∴△AOC,△BOC的面积相等.故选D.
答案D探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析答案C 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3 解决三角形的四心问题 答案B 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析反思感悟 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析答案B 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析对共线向量的条件理解不清致误
典例 已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线.
错解若存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),
则3e1+2e2=3λe1-2λe2,即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2,错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示错解中对向量共线的条件理解不清,只有当e1,e2不共线,且λe1=μe2时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析正解①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.
②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),
则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,
3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,
于是3e1+2e2= (3e1-2e2),这时3e1+2e2与3e1-2e2共线.防范措施要注意结论“若非零向量e1,e2不共线,且λe1=μe2,则必有λ=μ=0”成立的条件是e1,e2不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件.123451.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是 ( )
A.a与λa的方向相同
B.a与-λa的方向相反
C.a与λ2a的方向相同
D.|λa|=λ|a|
解析因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.
答案C6123452.下列各式不表示向量的是( )
A.0·a B.a+3b
C.|3a| D. (x,y∈R,且x≠y)
解析|3a|是向量3a的模,是实数而不是向量.
答案C6123453.4(a-b)-3(a+b)-b等于( )
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
解析原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
答案D61234561234565.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.
解因为ka+3b与2a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),
即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.
由于a,b不共线,123456
