2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
课后篇巩固探究
基础巩固
1.在正方形ABCD中,AC与CD的夹角等于( )
A.45° B.90° C.120° D.135°
解析如图,将AC平移到CE,则CE与CD的夹角即为AC与CD的夹角,且夹角为135°.
答案D
2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( )
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
解析因为向量e1与e2不共线,
所以3x=4y-7,10-y=2x,解得x=3,y=4.
答案D
3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为( )
A.3e1-2e2 B.-3e1-3e2
C.3e1+2e2 D.2e1+3e2
答案C
4.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )
A.m>0,n>0
B.m>0,n<0
C.m<0,n>0
D.m<0,n<0
解析如图所示,利用平行四边形法则,
将OP分解到OP1和OP2上,
有OP=OA+OB,
则OA=mOP1,OB=nOP2,
很明显OA与OP1方向相同,则m>0;
OB与OP2方向相反,则n<0.
答案B
5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为 .?
解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,
即xe1+2e2=3λe1+λye2,
所以x=3λ,2=λy,故xy=3λ·2λ=6.
答案6
6.
如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以e1,e2为基底来表示OC= ,OD= .?
解析OC=OA+AC=OA+13AB
=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2,
OD=OC+CD=OC+13AB
=23e1+13e2+13(e2-e1)=13e1+23e2.
答案23e1+13e2 13e1+23e2
7.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为 .?
解析由题意可画出图形,
在△OAB中,∠OAB=60°,
又|b|=2|a|,∴∠ABO=30°.
∴∠BOA=90°,a与c的夹角为180°-∠BOA=90°.
答案90°
8.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得λ=1,3λ=-2,即λ=1,λ=-23.
所以λ不存在,故a,b不共线,
即a,b可以作为一组基底.
(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以3=m+n,-1=-2m+3n,解得m=2,n=1.
故c=2a+b.
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),
AF=12AC=12b,
BE=AE?AB=13(a+b)-a=13(b-2a),
BF=AF?AB=12b-a=12(b-2a).
(2)证明由(1)知,BE=23BF,∴BE,BF共线.
又BE,BF有公共点B,
∴B,E,F三点共线.
能力提升
1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足OP=OB+OC2+λAP(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析设线段BC的中点为D,则有OD=12(OB+OC),因此由已知得OP=OD+λAP,即OP?OD=λAP,于是DP=λAP,则DP∥AP,因此P点在直线AD上,又AD是△ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.
答案C
2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .?
解析如图,由题意知,D为AB的中点,BE=23BC,
∴DE=DB+BE=12AB+23BC
=12AB+23(AC?AB)=-16AB+23AC.
∴λ1=-16,λ2=23.∴λ1+λ2=-16+23=12.
答案12
3.
如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于 .?
解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=OD+OE.
在Rt△OCD中,因为|OC|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD|=4,|CD|=2,
故OD=4OA,OE=2OB,
即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
答案6
4.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
解设BM=e1,CN=e2,
则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ,使AP=λAM=-λe1-3λe2,
BP=μBN=2μe1+μe2,
∴BA=BP?AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又BA=BC+CA=2e1+3e2,
∴λ+2μ=2,3λ+μ=3,
解得λ=45,μ=35.
∴AP=45AM,即AP∶PM=4∶1.
5.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有OP=xOA+yOB.证明:点P必在△OAB内部.
证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则xt+yt=1.设P'为平面内一点,且OP'=xtOA+ytOB,则AP'=OP'?OA=xt-1OA+ytOB=yt(OB?OA)=ytAB,所以点P'在直线AB上.又yt∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).
因为OP=xOA+yOB=t OP',t∈(0,1),
即点P在线段OP'上(异于端点),
所以点P必在△OAB内部.
课件28张PPT。2.3.1 平面向量基本定理一二一、平面向量基本定理
1.对于平面内的任意向量a,是否可以用平面内的一个非零向量e1线性表示?是否可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示?当向量a可以用两个非零向量e1,e2线性表示时,表示方法是唯一的吗?
提示当e1与a共线时,a可用e1线性表示,否则不可以;当非零向量e1,e2共线时,向量a不一定能用e1,e2线性表示,若非零向量e1,e2不共线,则任意向量a一定可以用e1,e2线性表示,且表示方法是唯一的.自主检测一二2.填空:平面向量基本定理 自主检测一二3.做一做:下列说法正确的是( )
A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示
B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线性表示
C.零向量可以作为基底中的向量
D.平面内的基底是不唯一的
解析根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.
答案D自主检测一二二、两个向量的夹角与垂直
1.不共线向量有不同的方向,怎样来表示它们的位置关系呢?
提示运用向量的夹角来表示它们之间的位置关系.
2.填空:
两向量的夹角与垂直自主检测一二答案A 自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1,e2线性表示. ( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时,表示方法是相同的. ( )
(3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则必有a=c,b=d. ( )
(4)若两个向量的夹角为θ,则当|cos θ|=1时,两个向量共线. ( )
(5)等腰直角三角形ABC中,AB⊥AC,则 的夹角是45°. ( )
(6)e1,e2是非零的不共线向量,a=ke1+e2,b=e1+k2e2,且a,b共线,则k=1. ( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√自主检测探究一探究二探究三思维辨析对平面向量基本定理的理解
例1 给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;
④若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底.
其中正确命题的序号是 .?探究一探究二探究三思维辨析解析①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中的向量则不一定.
②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.
④正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底.
答案④探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 平面向量基本定理的四个要点
①不共线的向量e1,e2;
②平面内的任意向量a;
③存在唯一一对实数λ1,λ2;
④a=λ1e1+λ2e2.探究一探究二探究三思维辨析答案B 探究一探究二探究三思维辨析平面向量基本定理的应用
例2在△ABC中.分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.探究一探究二探究三思维辨析证明
如图,设D是AB边的中点,探究一探究二探究三思维辨析平面向量的夹角问题
例3 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是 ,a-b与a的夹角是 .?答案30° 60° 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟两个向量夹角的实质及求解的关键:
(1)实质:两个向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角.
(2)关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然后按照“一作二证三算”的步骤,并结合平面几何知识求出两个向量的夹角.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知两非零向量a与b的夹角为80°,则a与-b的夹角是 ,2a与3b的夹角是 .?
解析如图①,向量a与-b的夹角为100°.
如图②,向量2a与3b的夹角为80°.答案100° 80° 探究一探究二探究三思维辨析对两向量夹角的定义理解不清致误 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析防范措施在一个平面图形中求两个向量的夹角时,切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角,必须根据向量的方向,通过平移得出向量的夹角.123451.设e1,e2是平面内一组基底,则( )
A.零向量不能用e1,e2表示
B.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内
C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
解析由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.
答案D612345答案A 6123453.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 ( )
A.60° B.120° C.30° D.150°
解析平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.
?
?
?
?
答案A6123454.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若a,b不能作为基底,则k等于 .?
解析若向量a,b不能作为基底,则向量a,b共线,可设a=λb,答案1 612345答案3 6123456
