2.3.2~2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
课后篇巩固探究
1.已知MN=(2,3),则点N位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.不确定
解析因为点M的位置不确定,所以点N的位置也不确定.
答案D
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当AB=a+2b时,点B的坐标为( )
A.(2,7) B.(0,-7)
C.(3,-6) D.(-4,5)
解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).
设点B的坐标为(x,y),
则AB=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),
∴x+1=1,y+5=-2,解得x=0,y=-7.
∴点B的坐标为(0,-7).
答案B
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即2x-5+9=0,2y+6-6=0,
∴x=-2,y=0,
即c=(-2,0).故选D.
答案D
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为( )
A.2,72 B.2,-12
C.(3,2) D.(1,3)
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,
所以2x=4,2y-4=3,所以x=2,y=72,所以选A.
答案A
5.
在△ABC中,点P在边BC上,且BP=2PC,Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于( )
A.(-2,7)
B.(-6,21)
C.(2,-7)
D.(6,-21)
解析如图,BC=3PC=3(2PQ?PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).
答案B
6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).
答案D
7.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“??”,向量a??b=(a1,b1)??(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=m??OP+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )
A.-1 B.-2 C.2 D.12
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
则OQ=m??OP+n=12x,2sinx+π3,0=12x+π3,2sinx.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin12x+π3.所以函数y=f(x)的最小值为-2.
答案B
8.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则AB+2BC= .?
解析∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
∴AB=(2,3),BC=(-3,3).
∴AB+2BC=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案(-4,9)
9.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且AC=3CB,则点C的坐标是 .?
解析设C(x,y),则AC=(x-3,y+5),
3CB=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).
∵AC=3CB,∴x-3=-3-3x,y+5=9-3y,
解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).
答案(0,1)
10.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=ka+lb,则k,l的值分别为 .?
解析∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),
∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),
即11=k+3l,7=2k+l,解得k=2,l=3.
答案2,3
11.设向量OA绕点O逆时针旋转π2得向量OB,且2OA+OB=(7,9),且向量OB= .?
解析设OA=(m,n),则OB=(-n,m),
所以2OA+OB=(2m-n,2n+m)=(7,9),即2m-n=7,m+2n=9,解得m=235,n=115.因此OB=-115,235.
答案-115,235
12.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使|CE|=14|ED|,则点E的坐标为 .?
解析设C(x1,y1),
依题意有(x1-2,y1+1)=12(x1-1,y1-4),
解得x1=3,y1=-6,即C(3,-6).
又依题意可得CE=14DE,
设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=14(x0-4,y0+3),
解得x0=83,y0=-7,故点E坐标为83,-7.
答案83,-7
13.若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 .?
解析因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),
设a=x(-1,1)+y(1,2),
则有-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.
答案(0,2)
14.已知点A(-1,2),B(2,8),及AC=13AB,DA=-13BA,求点C,D和CD的坐标.
解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).
∵AC=13AB,DA=-13BA,
∴(x1+1,y1-2)=13(3,6),(-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6),
即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴x1+1=1,y1-2=2,-1-x2=1,2-y2=2.
∴x1=0,y1=4,x2=-2,y2=0.
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故CD=(-2,-4).
15.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA=a,OB=b,OC=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量AB,BC的坐标.
解如图所示,以点O为原点,OA所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵|OB|=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos 30°,sin 30°),
∴B-32,12.
∵|OC|=3,∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C-32,-323.
又A(2,0),
∴AB=-32,12-(2,0)=-32-2,12,
BC=-32,-323?-32,12=3-32,-33-12.
16.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及MN的坐标.
解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,
∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
∴5=-6m+n,-5=-3m+8n,∴m=-1,n=-1.
(3)设M(x1,y1),由CM=3c,
得(x1+3,y1+4)=3(1,8),
∴x1+3=3,y1+4=24.
∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).
同理,设N(x2,y2),由CN=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).
∴x2+3=12,y2+4=6,
解得x2=9,y2=2.
∴N(9,2).∴MN=(9,-18).
课件30张PPT。2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算一二自主检测一、平面向量的坐标表示
1.如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?一二2.填空:(1)平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)平面向量的坐标表示
①基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.
②坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在 x轴上的坐标,y叫做向量a在 y轴上的坐标.
③坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.
④特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).自主检测一二3.做一做:在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是 , , .?
答案(2,-6) (0,5) (-4,0)自主检测一二二、平面向量的坐标运算
1.设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用基底i,j表示?
提示a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,λa=λx1i+λy1j.自主检测一二2.填空:
平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则自主检测一二?自主检测一二判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)一个坐标对应唯一的一个向量. ( )
(2)相等的向量,即坐标是相同的. ( )
(3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的. ( )
(4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标. ( )
(5)任何平面向量都有唯一的坐标. ( )
(6)若a=(1,-2),则必有a=i-2j,其中i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量. ( )(9)表示两个相等向量的有向线段的始点、终点是相同的. ( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)× (8)√ (9)×自主检测探究一探究二探究三向量的坐标表示
例1 (1)已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标.
(2)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A为坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量 的坐标.
分析(1)将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式;(2)先求出点A,B,C,D的坐标,再根据点的坐标与向量坐标的关系求出向量坐标.思维辨析探究一探究二探究三解(1)因为a=3i-2j,b=-i+5j,
所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,
因此向量a+4b的坐标为(-1,18).
(2)如图,正三角形ABC的边长为2,
则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),思维辨析探究一探究二探究三反思感悟求平面向量坐标的方法:
(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
(2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析向量的坐标运算 分析对于(1)可直接运用坐标运算法则进行计算;(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 向量坐标运算要注意的问题
(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.探究一探究二探究三思维辨析答案A 探究一探究二探究三思维辨析向量坐标运算的应用 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟平面向量坐标运算应用技巧:
(1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
(2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析对点的位置情况考虑不周致误 探究一探究二探究三思维辨析防范措施在解决向量问题时,注意向量表达式之间的区别,|a|=λ|b|与a=λb是不同的,此外还要注意对点的位置情况进行细致分析,不要出现遗漏的情况.12345A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
解析由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).
答案D123452.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于( )
A.(-12,5) B.(12,5)
C.(-12,-5) D.(12,-5)
解析2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5).
答案C123453.已知e1=(2,1),e2=(1,3),a=(-1,2),若a=λ1e1+λ2e2,则实数对(λ1,λ2)为( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.无数对
解析:∵λ1e1+λ2e2=(2λ1+λ2,λ1+3λ2),a=(-1,2),
∴实数对(λ1,λ2)=(-1,1).故选B.
答案:B12345答案(7,5) 1234512345
